第二章 导数计算及应用
（4）e?x???n???ne?x
?n?i?????cnuvii?0nn?i?（5）莱伯尼兹公式 ?uv?
例2.18. y?xe?2x，求y???0? 解：y??e?2x?x??2?e?2x
y??e?2x?1?2x?
y????2e?x??1?2x?e?2x??2? y???e?2x??4?4x? y??(0)??4
10例2.19. y?x2ex，求y??
解：y?10?i??c10?x2?i?010?i??e?x?n?i?
y?10??x2ex?20xex?90ex
1?n?，求y
?2x?1??x?2?1解：y?
?2x?1??x?2?例2.20．y?1?2x?1??2?x?2? ???5?2x?1??x?2?1121?????
5x?252x?1y?n?1?1?????5?x?2??n?2?1????5?2x?1??n?！2??1?n!n1??1?n??????2
5?x?2?n?15?2x?1?n?1nn?n?例2.21．y?ln?2x?1? ，求y
解：y??2 2x?1y?n??2??1??n?1?!?2n?1???1??2n??n?1?!,n?2
??nn?2x?1??2x?1??n?1?n?1 28 / 49
第二章 导数计算及应用
例2.22．f?x??cos2x，求f2解：f?x??cosx??50??0?
1?cos2x 2f?n?1nn??n???n?1x???2?cos2x???2cos2x??????22?2???? ?f(50)(0)??249cos(25?)?249
例2.23．f?x??sin5xcos2x，求f(n)?x? 解：f?x??1?sin7x?sin3x? 2f?n??x??1nn???7sin?7x?22?n??1n??3sin3x???2?2??? ?（2）一阶微分
定义：对于函数y?f(x)，如果存在常数A，使得：
f(x0??x)?f(x0)?A?x?o(?x)??x?0?
则称f(x)在x?x0处可微。
成立：f?x?在x?x0可导?可微，且dy?f?(x0)dx。
dy?f??x?dx可作为微分求解公式。
例2.24．y?xsin2x，求dy|解：y??sin2x?2xcos2x
x??2
y?()?sin???cos???? 2?dy?y?()dx???dx。
2sin2x例2.25．y?，求dy。
x2xcos2x?sin2x2xcos2x?sin2xdy?dx 解：y??，22xx??2?x?2例2.26．f(x)??xe,x?0，求df|x?0
??xsinx,x?0
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2第二章 导数计算及应用
解：f??(0)?lim?h?0f(h)?f(0)
hh2e?limh?0?h?h22?0，
f(h)?f(0)hsinhf???0??lim?lim?0， ?h?0?h?0hh故f?(0)?0，所以dy|x?0?0?dx?0。 例2.27．利用微分近似计算e0.05。 解：令?x?0.05,x0?0,f(x)?ex，
则e0.05?ex0??x?ex0?f'(x0)?x0=1?1?0.05?1.05。
4、求导中若干特别问题 （1）奇偶函数导数
结论：奇（偶）函数的导数为偶（奇）函数。
例2.28．f（x）为奇函数，f?(?2)?5,f?(?5)?(5)。
例2.29． f(x)为可导函数，则f(x)?f(?x)的导数为（偶函数）。 （2）dlnx?1dx x
(ln(x?x2?a))??m1x?a2 （3）f(x)?(x?a)|(x?a)|,(n为奇），在x＝a导数最大阶数等于m+n-1. 例2.30． f(x)?(x?2x?3)|(x?3)(x?1)|导数最大阶数为（1阶）。 （4）(u(x)v(x)n23)??(evlnu)??u(x)v(x)(v?lnu?vu?) u
x例2.31． y?(sinx),求y?
解：y??(sinx)(lnsinx?xcotx) （5）符号型求导
2例2.32. y?f(f(x)),求y?。
x解：y??f?(f(x))?2f?(x2)?2x
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第二章 导数计算及应用
三、隐函数、参数方法求导
1．隐函数求导
由方程F(x,y)?0确定的函数y?y(x)，隐函数求导可看成复合函数求导的特例。 例2.33．由xy2?ey?sin(3x?2y)?x确定隐函数y?y(x)，求解：方程两边对x求导得
dy。 dxy2?x?2yy??eyy??cos(3x?2y)(3?2y?)?1
1?y2?3cos(3x?2y) y??y2xy?e?2cos(3x?2y)例2.34．由方程sin?2x?y??y?1确定隐函数y?y?x?, 求y?,y??.
2解：sin?2x?y??y?1
2 方程两边对x求导，得：cos?2x?y??2?y???2yy??0 （*）
y?=
?2cos(2x?y)，（*）式再对x求导，得：
2y?cos(2x?y)22?sin?2x?y??2?y???cos?2x?y??y???2?y???2yy???0
sin?2x?y??2?y???2?y??4y2sin?2x?y??4cos2?2x?y? y????22y?cos?2x?y???2y?cos?2x?y???例2.35．已知y?y?x?由方程(y?1)e?xe?2e确定，求y?(0).
xxyx22解： 将x?0代入(y?1)e?xe?2e，得到y?3。
xxyx方程两端对x求导，得e(y?1)?y?e?e?xexxxyxy?y????2ex， xy2ex?(y?1)ex?exy?xyexy2?2?1???1。 y??，y0???x2xy1e?xe
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第二章 导数计算及应用
2．参数方程求导
?x?x(t) 问题： ??y?y(t)dyd2y,求,.
dxdx2dyddy()2(y?)?dydtdxdydtyt?t求导公式： ==，=. ?2dxdxdxxt?dxxt?dtdt?x?ln(1?t2)dyd2y例2.36．已知? 求,2.
dxdx?y?t?arctant11?2dyyt?t1?t解：===，
2tdxxt?21?t2ddy1()dydtdx1?t22===.
dx2tdx24tdt1?t22?x?tsint?2d2ydy?t?例2.37．已知?，求，，并给出时y?y(x)的切线法线方程. 2dx2dx?y?2?tcostddy()dyyt?cost?tsintdydtdx?2?t2解: ==,2==， 3dxdxxt?sint?tcostdx(sint?tcost)dt2斜率k??dy?=2=?，x0?xt????2，y0?yt???2，
2dxt??21222??切线方程为y?2??法线斜率k??2(x??2?2)。
y?2?22?，法线方程为：
?(x??2?2)
222?dy?x?y?t?1例2.38． 已知y?y(x)由?确定，求。 tdx??xt?ye?1解：将方程中x,y分别看成为t的函数，分别对t求导得
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