第二章 导数计算及应用
dy?dx2x?2y?2t?0??dtdt ?
dxdy?t?x?et?ety?0?dt?dt解得：
dx?tet?xy?y2etdyt2?x2?xyet =，= ttdtdtxe?tyxe?tydydy/dtt2?x2?xyet所以 ==。
dxdx/dt?tet?xy?y2et四、导数应用
（a）斜率和几何应用 （b）洛必达法则求极限
（c）函数单调性,凹凸性,极值与拐点,渐近线 （d）最大值，最小值与实际应用 （e）微分中值定理的应用 （f）证明不等式
1．斜率与几何应用
函数y?y?x?在x?x0处导数y?(x)为切线斜率k，即k?y?(x),过点x0,f?x0?的切线方程为
??y?f(x0)=f?(xo)(x?x0)。法线方程为y?f(x0)=?例2.39．y?xx，求过?1,1?的切线方程。
1(x?x0)。 f?(xo)33x， k?y?(1)? 223切线方程为y?1=(x?1)。
2解：
y??例2.40．过点
?0,?0引抛物线
y的切线，求切线方程。
2解：设切点为x0,1?x0，因y?=2x，
y?1?x2 y=1?x2???x,1?x?020 33 / 49
x O x0 第二章 导数计算及应用
k?y?(x0)?2x0， 切线方程为y=2x0x，
2因为x0,1?x0亦在切线上，所以
??22=2x0x0，x01?x0?1，x0??1，
所以，切线方程为 y=±2x。 例2.41．问函数y=
1x?0?哪一点 ?x0
图示2.1
上的切线与直线y=x成60角？
解：设切线斜率为k2?0，y=x，k1=1， tan?=
k1?k21?k2，3=
1?k1k21?k2 解得：k2=?2?3，y?=?11=，解得：=. ?2?3x2x2?32．洛必达法则
洛必达法则是导数对极限的应用，归结为求极限问题的题型六。它是求极限问题非常重要的一个题型。
洛必达法则：若limf(x)?0,limg(x)?0,且在
x?ax?aa的邻域附近g(x),g(x)可导。如果成立
limx?af?(x)f(x)?A,则lim?A。
x?ag(x)g?(x)0?0?,。对于0??,1?，???等必须变形为,形
0?0?注：①洛必达法则处理的形式必须是未定式式。
②洛必达法则是一个充分性的法则，若limx?af?(x)不存在，则说明此方法失效。 g?(x)③洛必达法则只要前提正确，可重复使用。
④一般而言，洛必达法则和求极限题型五配合使用效果会更佳。 5注意其和连续，可导概念结合的综合题。 ○例2.42．limx?0x?sinx 2tanx?sinx12xx?sinx1?cosx2?1 解：原式=lim?lim?limx?0x?0x?03x2x33x26
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例2.43．lim(x?011?x) xe?1ex?1?xex?1?xex?1x1解：原式=lim?lim?lim?lim? 2x?0x(ex?1)x?0x?0x?0x2x2x2例2.44．limxlnx
x?0?2lnxx?1x2?lim?lim?0 解：原式?lim?2x?0?2x?3x?0?2x?0?x例2.45．limxe?x
x??2解：原式=limxx2e2xe11) 例2.46．lim(2?x?0xsin2x(sinx?x)(sinx?x)解：原式=lim 22x?0xsinxx??x???lim1x2?0
1?x2sinx?xsinx?xcosx?12??1 ?lim?2lim?2limx?0x?0x?03x2x3x3x2311) 例2.47．lim(2?2x?0xtanxtan2x?x2tan2x?x2?lim解：原式=lim2 4x?0x?0xtan2xxtanx?xtanx?xsec2x?12tan2x2lim?2lim?lim2? ?lim32x?0x?0x?0xx3x3x?0x3
例2.48．limx??x?sinx
x?sinx1?cosx?不存在
x??1?cosx解：由罗必塔法则，原式＝lim 这不说明原式不存在，仅说明洛必达法则对此题无效。
sinxx?1 原式= limx??sinx1?x1??xlnx)例2.49．lim(1?x?0cscx
1lnxx?lim(?x)?0 xlnx?lim?lim解： limx?0?x?0?1x?0??1x?0?xx2
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xlnxcscx1?limlnx??x?0?xlnx 原式?lim?e?0 ?(1?xlnx)?x?0????x 例2.50．lim?x?0x解： 原式=lime?x?0xlnx?ex?0?limxlnx?e0?1
(xx-1)例2.51．lim
x?0?x(xx)??lim(exlnx)??limexlnx(lnx?1)?? 解：原式=lim???x?0x?0x?01?f(x),x?0?例2.52．设f(x)有二阶连续导数，且f(0)?0，g(x)??x。
??f?(0)?0,x?0证明：g(x)有一阶连续导数。 解：当x?0时，g?(x)?xf'(x)?g(x),g??x?在x?0处连续 2xf(h)?f?(0)g(h)?g(0)f(h)?f?(0)h： g?(0)?lim?limh?limh?0h?0h?0hhh2f?(h)?f?(0)f??(h)f??(0) ?lim?lim?h?0h?02h22
xf?(x)?f(x)f??xf??(x)?f?(x)f??(x)f??(0)?lim?lim? 2h?0x?0h?0x?0x2x22f??(0)所以limg?(x)?g?(0)?，故g?(x)在=0处连续。
x?02因limg?(x)?lim综上所述g(x)有一阶连续导数。
3．函数单调性、凹凸性、极值、拐点及渐进性
a、 单调性
如果f?(x)?0,x?I则f(x)在I上严格单调增加，f?(x)?0,x?I，则f(x)在I上严格单调减少。
满足 f?(x)?0的点称为驻点。 b、 极大值，极小值
判别?:如果在x?x0的附近，当x?x0，f(x)单调增加，x?x0，f(x)单调减少，则f(x)在x?x0取得极大值，反之取极小值。
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判别II：如果f(x)在x?x0邻域存在两阶导数，且f??(x0)?0取极小值，f??(x0)?0取极大值。 极值点可能出现在驻点或导数不存在的点上。
c、 凹凸法
f??(x)在I上存在，如果f??(x)?0，x?I，则f(x)在I上向上凹；f??(x)?0，x?I，则f(x)在I上向上凸。
d、 拐点
凹凸性发生改变的界点称为拐点。它可能出现在f??(x)?0的点或f??(x)不存在的点。 e、 渐进线
如果limf(x)?A，则y?A为y?f?xx??f(x)??，则x?a为y?f?x??的水平渐近线；如果limx?a的垂直渐近线。
有了以上的准备知识，分析函数的单调性，凹凸性，极值，拐点，的问题流程为 （1） 求定义域，渐近线； （2） 计算y?, y??；
（3） 求y??0，y???0的点和找出使y?, y??不存在的点，设为 x1,x2,?,xn； （4） 列表分析； （5） 结论。
例3.53．分析函数y?xe?x的单调性，凹凸性，极值，拐点及渐近线。
解：（1）定义域为x?R，
?x 渐近线：因limxe?limx???x1?lim?0
x???exx???ex y?0，即x轴为水平渐近线
?x （2）y??(1?x)e
y????1e（3）列表分析
?x?(1?x)(?1)e?x?(x?2)e?x，由y??0得x?1，由y???0得x?2
x (??,1) y? ? y?? ?y 1 极大值 (1,2) ?2 拐点 ? (2,??) ?? ?? y?1??e?1 ?? y?2??2e?2 ?? （4）y?xe在(??,1)上单调上升向上凸，(1,2)上单调下降，向上凸，(2,??)上单调下降，向上凸，（1，e）为极大值点，（2，2e?1?2?x）为拐点。
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