第二章 导数计算及应用
1?x2例2.54．分析y?的单调性，凹凸性，极值，拐点，及渐近线。 21?x解：（1）定义域x??1，
1?x2??1，所以y??1为水平渐近线。 因limx???1?x21?x2??，所以x??1为垂直渐近线。 因limx??11?x22x(1?x2)?(1?x2)(?2x)4x（2）y??， ?222(1?x)(1?x)y???4?1?x2??4x?2?1?x2???2x??4?12x2，
?1?x?24?1?x?23由y??0得x?0；当x??1，y?，y??不存在。 列表分析
x (??,?1) ?1 (?1,0) ??y? ?y?? ?y 0 极小值 (0,1) ?1 (1,??) ? ?? ?? 拐点 ?? y?0??1 ?? 拐点 ?? 1?x2
函数在(??,?1)上单调下降，向上凸；在??1,0?单调下降，向上凹； 2
1?x
?0,1?单调上升向上凹；(1,?)单调上升向上凸。?0,1?为极小值点，x??1处为拐点。
例2.55．已知函数f(x)?alnx?bx2?x在x?1与x?2处有极值，试求a,b的值，并求f?x?的拐点。 解：f??x??a?2bx?1, 题意知f?(1)?0，f?(2)?0，得： x?a?2b?1?0? ?a?4b?1?0??2解得：a??21,b??， 36a21f????2?2b?2??0, 解得x??2（负号舍去）。
x3x3当0?x?2，f??(x)?0，向上凹， 当x?2时，f??(x)?0，向上凸，
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第二章 导数计算及应用
故x?2为f(x)的拐点。
4．最大值、最小值与实际应用
将导数应用到实际问题的最大、最小或更广泛的最优问题的求解中是非常重要的考点。是考查考生实际应用能力的一个很重要的知识点，它可能涉及到几何、物理学、经济学等方面的内容。 分析问题的流程为： （1）适当假设求解变量x。 （2）函数关系y?y(x)确定；
（3）y??0求解，交待y最大、最小的理由；
（4）合理分析。
注：第二步是整个问题的关键步骤，(3)中的理由部分可能是容易疏忽之处。 例2.56．（几何问题）半径为R的半圆内接梯形， （1） 何时面积最大？ （2） 何时周长最长？
解：设上底长度为2x，即OF?x， 如图所示，OE?A E
B
R2?x2，
222D
2O
图示2.2
F
C
（1）S(x)?(2x?2R)R?x/2?(x?R)R?x
S'(x)?R2?x2?(x?R)?2x2R?x22?R2?x2?x(x?R)R?x22
由S?(x)?0解得x?R/2 （x??R舍去） 因为x?R为唯一驻点，即为所求（或S?(R/2)?0） 2此时Smax?3322R2R/2?R 2422（2）l(x)?2x?2R?2BC?2?x?R??2CF?BF ?2(x?R)?2R2?x2?(R?x)2
?2(x?R)?22R2?2Rx l?(x)?2?2?2R22R?2Rx2?2?2R2R?2Rx2，
由l?(x)?0得x?R/2。
因x?R/2为唯一驻点，即为所求（或l''(R/2)?0），
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第二章 导数计算及应用
R?R)?22R2?R2?5R。 2例2.57．（几何问题）半径为R的圆板，剪下圆心角?围成一个圆锥漏斗，问?为何角度时，使lmax?2(得漏斗的容积为最大？
解：设圆锥漏斗的下底半径为x，
V(x)?1SH?1?x2R2?R 33x2 O V?(x)?13?(2xR2?x2?x2?2x2R2?x2)
?13?x(2R2?x2?x2R2?x2)
图示2.3
由V?(x)?0解得x?0?舍去?，x??23R（负号舍去） 所以，符合题意的驻点是唯一的x?2R
3R， 即为所求（或V??(2R)?0）， x 3O
V123233图示2.4
max?3?3R23R?27?R
2?2r 由2?x??R推知??2?xRR?3R?263?。 例2.58．（几何问题）设计一个容积为V＝16?（m3）的立方
圆锥贮油桶，已知单位面积造价：顶、侧面、底面为1:2:3，问尺寸如何设计使造价最低？
解：设该圆柱形底面半径为r，高为h， 顶单位造价为l（元/平方米），
图示2.5
由?r2h?V,得 h?V?r2?16r2， 总造价函数 M??r23l?2?rh?2l??r2?l ?4?l(r2?16r)， M??4?l(2r?16r2)?0， 解得：r?2；唯一驻点，即为所求（或M???2??0），
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体的有盖贮油桶的
第二章 导数计算及应用
此时 h?V?4。 ?r2
例2.59．已知某厂生产x件产品的成本为C(x)?25000?200x?12x（元），产品产量 x与价格40P之间的关系：P(x)?440?1x（元） 20求：（1）要使平均成本最小，应生产多少件产品？
（2）当企业生产多少件产品时，企业可获最大利润，并求最大利润？ 解：（1）平均成本
C(x)25001??200?xxx40
25001C?(x)??2??0x40C(x)?解得： x?1000(件），因C??(1000)?0
所以x?1000(件），平均成本C(x)最小，Cmin?300（元/件） （2）利润函数
Q(x)?P(x)?C(x)?440x?1212x?25000?200x?x 204032x?240x?25000， 406Q?(x)??x?240?0 得：x?1600（件），
40??唯一驻点，即为所求，Qmax?127000（元）。
例2.60．一租赁公司有40套设备要出租。当租金每月每套200元时，该设备可以全部 租出；当租金每月每套增加10元时，租出的设备就会减少1套；而对于租出的设备，每 月需要花20元的修整费。问：租金定为多少时，该公司可获最大利润？
解：设每月每套租金定为(200?10x),则租出设备总数为40x，每月的毛收入为
(200?10x)(40?x)；维护成本为(40?x)?20，于是利润为
L(x)?(200?10x)(40?x)?7200?220x?10x2(0?x?40)，
L?(x)?0?x?11 比较L(11),L(0),L(40)处利润：L(11)?L(0)?L(40)； 所以，租金为(200?10?11)?310元时，利润最大。
5．罗尔定理、微分中值定理及其应用
Rolle定理：如果f(x)在(a,b)可导，在[a,b]上连续，且f(a)?f(b)，则??(a,b)存在，使得
f?(?)?0。
Lagrange中值定理：如果f(x)在(a,b)可导，在[a,b]上连续，则存在??(a,b)，使得
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第二章 导数计算及应用
f(a)?f(b)?f?(?)(b?a)。
例3.53．问下列函数哪个函数不满足拉格朗日中值定理条件：（ ） A）y?sinx,x?[??,?]，B）y?x|x|,?1?x?1 C）y?3x,?1?x?1， D）y?x2?1,?1?x?1
3解：选择C，因为y?x在x?0处导数不存在。
例2.61 已知f(x)?arctanx,x?[，求Lagrange中值定理中的?。 ?1,1]解：f(1)?f(?1)?2f?(?)?24即,????1 21???例2.62．证明f(x)?x?8x?a在[0,1]上不可能有两个零点.
证明:反证法。如果在[0,1]上有两个零点x1,x2(不妨设x1?x2)，即f?x1??f(x2)?0.
3f?x?在[x1,x2]满足定理条件,所以存在??(0,1)时,3?2?8?0，故矛盾,原命题得证.
例2.62．设f(x)可导,求证f(x)的两个零点之间定有af?x??f?(x)的零点. 证明:构造辅助函数F(x)?f(x)e .
设x1,x2为f?x?的两个互异零点,不妨假设x1?x2,且f?x1??f(x2)?0 所以F(x)在[x1,x2]上满足罗尔定理条件,故存在??(x1,x2)使得
axF?(?)?af(?)ea??f?(?)ea??0。
所以f?(?)?af(?)?0,命题得证.
例2.63．f(x)在[b,a]上二阶可导,f(a)?0,设F(x)?(x?b)2f(x),证明：存在??(b,a),使得
F??(?)?0.
证明:由于F(b)?0,F(a)?0且F(x)在[b,a]上二阶可导,所以F(x)在[b,a]满足罗尔定理,故存
在?1?(b,a)使得F?(?1)?0，F?(x)?2(x?b)f(x)?(x?b)2f?(x) 知F?(b)?0。
现在考虑g(x)?F?(x),x?[b,?1],其在[b,?1]满足罗尔定理条件，所以存在??(b,?1)?(b,a),使得F??(?)?0。
例2.64．证明方程x?4x?3?0只有一个正根. 证明：（1）根的存在性
令f(x)?x?4x?3,x?[0,1],f(0)??3,f(1)?2?0,由于f(x)在闭区间[0,1]上连续，故由闭区
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