第二章 导数计算及应用
间连续函数介值定理知，存在??(0,1)，使得f(?)?0, 即，方程f(x)?x4?4x?3?0有正根. （2）根的唯一性
应用反证法。设有两个不同根x1,x2,(x1?x2)，则f(x)?x4?4x?3在[x1,x2]上满足罗尔定理条件，所以，存在??(x1,x2)，使得f?(?)?4?3?4?0,这不可能，故矛盾，所以根是唯一的。 综合(1)(2)，原命题成立。
例2.65．证明：方程sinx?x有且仅有一实根。
证明：x?0是方程的一个根。
对|x|?1，方程无根，只要考虑x?[?1,1],令f(x)?sinx?x,f(0)?0，f??cosx?1，当
x?[?1,0)时，f?(x)?0,f(x)严格单调上升，f(x)?0，当x?(0,1]时，f?(x)?0,f(x)严格单调上升，f(x)?0，总之，方程仅有一实根0。
注：注意上述两例的区别。
例2.66．设函数f(x)在?0,c?上具有严格单调递减的导数f?(x),f(x)在x?0处连续且f(0)?0,试证：对于满足不等式0?a?b?a?b?c的a,b均有下式成立：
f(a)?f(b)?f(a?b)。
证明:f(x)在0,a上满足拉格朗日的定理条件，故存在?1?(0,a)使得
??f(a)?f(0)?f?(?1)a,
由f(0)?0，所以f(a)?f?(?1)a；
f(x)在(b,a?b)上满足拉格朗日的中值定理条件,故存在?2?(b,a?b)使得
f(a?b)?f(b)?f?(?2)(a?b?b)?f?(?2))a
由于?1?a?b??2，而f?(x)是单调下降的函数，故f?(?1)?f?(?2)； 所以f(a?b)?f(b)?f(a)成立，即f(a?b)?f(a)?f(b)，原命题得证。 例2.67．f(x)在?0,a?上连续，且(0,a)内可导，f(a)?0。 证明：存在??(0,a)，使得f(?)??f?(?)?0。 证明：构造F(x)?xf(x),x?(0,a)，
F(x)在(0,a)上可导，?0,a?上连续，且F(0)?0,F(a)?af(a)?0，
故F(x)在?0,a?上满足罗尔定理，故存在??(0,a)，使得
F?(?)??f?(?)?f(?)?0，
即原命题得证。
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第二章 导数计算及应用
例2.68．设f(x),g(x)在[a,b]上存在二阶导数，g??(x)?0，f(a)?f(b)?g(a)?g(b)?0，证
f(?)f??(?) ?g(?)g??(?)证明：构造p(x)?f(x)g?(x)?f?(x)g(x)，由条件p(a)?p(b)?0，p(x)满足罗尔定理条件，因
b)使p?(?)?f(?)g?(?)?f?(?)g(?)?0，因为g??(x)?0,g?(?)（否则此存在??(a,f(?)f??(?)，于是。 g(a)?g(b)?g(?)?0推得g??(c)?0）???g(?)g(?)明：存在??(a,b)使
例2.69．已知f(x)在?0,a?上连续，在(a,b)内f??(x)存在，又过点A(a,f(a))，B(b,f(b))两点直线交曲线y?f(x)于C(c,f(c))，且a?c?b。试证明：在(a,b)内至少存在一个?使得
f??(?)?0。
f(b)?f(a)(x?a)，
b?a由题意可知：F(a)?0,F(b)?0,F(c)?0。
证明：构造F(x)?f(x)?f(a)?F(x)在?a,c?和?c,b?上分别满足拉格朗日定理条件。故存在?1?(a,c)使得F?(?1)?0，存在
?2?(a,c)使得F?(?2)?0；
（?1，?2）?（a,b)使得F??(?)?0。 F?(x)在区间??1,?2?上满足罗尔定理条件。所以存在??而F??(x)?f??(x)，故f??(?)?0，原命题得证。 6．函数不等式证明
通常证明不等式的方法有：应用微分中值定理；应用单调性；函数最大最小值。 例2.70．证明arctana?arctanb?b?a 证明：当a?b时，原不等式显然成立。
当a?b（无妨设a?b），设f?x??arctanx，在?a,b?上满足拉格朗日定理，存在??(a,b)使得；
arctanb?arctana?两边取绝对值，
1(b?a)， 1??2arctanb-arctana?b?a。
例2.71．证明：当0?x??2时，
2?x?sinx?x成立。
证明：构造f?x??x?sinx,f?0??0，
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第二章 导数计算及应用
f??x??1?cosx?0 （0?x?则f?x?在?0,
?2）
???
?上严格单调上升，f?x??f?0??0， 2??sinxxcosx?sinx，g??x??， xx2即，x?sinx。 构造g?x??令F?x??xcosx?sinx，F??x??cosx?xsinx?cosx??xsinx?0 所以F?x?严格单调下降，F?0??0，故F?x??0， 所以g??x??0。说明g?x?严格单调下降，g?x??g?即，sin?x?????2??， 2???2?x。结合前面的两结论可知原命题成立。
1?x 1?x?2x例2.72．证明,当0?x?1时,有e?证明:原命题等价于:e构造函数F(x)?e?2x?2x(1?x)?1?x
(x?1)?(1?x),F(0)?0,
F?(x)?e?2x?e?2x(x?1)(?2)?1,F?(0)?0,F??(x)=4xe?2x?0(0?x?1)
F?(x)严格单调上升, F?(x)>F?(0)?0
F?x?严格单调上升,即F(x)?F(0)?0，
亦即，e?2x(x?1)?(1?x)?0，即原命题得证。
2例2.73． 证明：当0?x?2时，4xlnx?x?2x?4?0。
证明:令F(x)?4xlnx?x?2x?4，
2F?(x)?4lnx?2x?2，F?(x)?0有且仅有一根x?1，
4F??(x)??2?0。? F(x)在x?1取极小值，
xxlnx?x?2x?4)?4，F(2)?8ln2?4?0,?Fmin?0， F(1)?1，F(0)?lim(4?x?02所以，F(x)?4xlnx?x?2x?4?Fmin?0，命题得证. 例2.74．证明：当x?0时,ln?1?x??2arctanx
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第二章 导数计算及应用
证明: 原命题等价于：?1?x?ln?1?x??arctanx， 构造F?x???1?x?ln?1?x??arctanx，F?0??0，
F?(x)?ln?1?x??1?1?0 ，所以F?x?严格单调上升， 21?xF(x)?F(0)?0，即原命题得证。
3例7. 证明:当x?2时,3x?x?2
证明:令f?x??3x?x，f??x??3?3x，
32由f??x??0得，x??1，
f??2???6?8?2，f?2??6?8??2,f?1??3?1?2,f??1???3?1?2；
所以，当x?2时，fmax?2,fmin??2，即?2?f?x??3x?x?2，
32即，3x?x?2 成立。
单元练习题2
1．y?x,dy? 。 2．f?(x)?2,则limh?0xf(2?3h)?f(2?3h)= 。
h2233．设xy?xy?2y?1，确定y?y(x)，则y?= 。
4．若y?f(x)在x0可导，且f(x0)为其极大值，则曲线y?f(x)在点(x0,f(x0)）处的切线方程是 。
5．如果满足f(x)?f(0)?x??(x)，且limx?0?(x)x?0，则f?(0)= 。
6．函数y?xe7．y?1??x的极值点为 ，它的图形拐点为： 。
2x的渐进线为： ，垂直渐进线为： 。
(x?1)28． 设y?f(x)二阶可导，且f?(x)?0,f??(x)?0,，又?y?f(x??x)?f(x)，?x?0，
dy?f?(x)?x，则?y与dy相差是 。
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第二章 导数计算及应用
9． y?f(x)由ln(x?y)?exy确定，则y?|x?0? 。
10．函数y?x3?3x2?x?9的凹区间为 。 11.f(?x)??f(x),且f?(?x0)?k,则f?(x0)? 。 12．
1d11(f(2))?,则f?()? 。
2dxxxdy= 。 dx13．函数f为可导函数，则y?sin{f[sinf(x)]}，则
14．函数y?f(x)由方程e2x?y?cos(xy)?e?1所确定，则曲线y?f(x)在点（0，1）处的切线方程为： 。
1?2?xsin,x?015． 设f(x)??在x?0处可导，则 x??ax?b,x?0（A）a?1,b?0 (B) a?0,b为任意实数 （C）b?0,a?0 （D）a?1,b为任意实数
16．设函数y?f(x)在x?a处可导，则函数y?f(x)的绝对值在x?a处不可导的充分条件是： （A）f?a??0,f??a??0 （B）f?a??0,f??a??0 （C） f?a??0,f??a??0 （D）f?a??0,f??a??0 17．f(x)?3x2?x2|x|,则使存在的最高阶导数n为: （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 18．y?ln(x?1?x2),则下列正确的是： （A） dy?1x?1?x2 （B）dy?11?x2dx
（C） y'?1?x2dx （D） y'?1x?1?x2
19．曲线y?6x?24x?x的凸区间为： （A）??2,2? （B）???,0? （C） ?0,??? （D）???,???
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