第二章 导数计算及应用
?sinaxx?0?x,?18、（2003）已知函数f(x)??2,x?0为连续函数，则a,b满足（ ）
?1?ln(1?3x),x?0?bxA. a?2,b为任意实数 B. a?b?C. a?2,b??1 23 D. a?b?1 219、（2003）y?y(x)由ln(x?y)?exy确定，则y?x?0? 。 20、（2003）函数y?x3?3x2?x?9的凹区间为 。
?x?ln(1?t2)dyd2y,2。 21、（2003）已知?，求
dxdx?y?t?arctant22、（2003）证明：xe?2在(0,1)内有且仅有一个实根。
23、（2003）设计一个容积为V立方米的有盖圆柱形贮油桶。已知单位面积造价：侧面是底面一半，盖又是侧面的一半，问贮油桶的尺寸如何设计，造价最低？
24、（2004）直线L与x轴平行且与曲线y?x?e相切，则切点的坐标是 A．（1，1） B、（－1，1） C、（0，－1） D、（0，1） ?(x?n)，则f?(0)?____。 25、（2004）设f(x)?x(x?1)(x?2)xxd2y|x?0的值。 26、（2004）设函数y＝y(x)由方程y?xe?1所确定，求dx2y27、（2004）甲乙二城位于一直线形河流的同一侧，甲城位于岸边，乙城离河岸40公里，乙城在河岸的垂足与甲城相距50公里，两城计划在河岸上合资共建一个污水处理厂，已知从污水处理厂到甲乙二城铺设排污管的费用分别为每公里500元和700元。问污水处理厂建在何处，才能使铺设排污管的费用最省？
28、（2005）设x＝2是函数y?x?ln(?ax)的可导极值点，则a＝（）
1211 C、? D、1 22ex?e?x?2x?__ 29、（2005）limx?0x?sinx30、（2005）对函数f(x)?lnx在闭区间[1,e]上应用Lagrange中值定理，求得的?＝____。
A、－1 B、
?f(x)?2sinx,x?0?31、（2005）设函数F(x)??在x＝0处连续，其中f(0)?0,f?(0)?6,求a。 x?,x?0?a,
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第二章 导数计算及应用
?x?costdyd2y,2。 32、（2005）设函数y?y(x)是由参数方程?所确定，求
dxdx?y?sint?tcost33、（2005）证明方程x?3x?1?0在[-1,1]上有且仅有一个实根。
34、（2005）设函数的图形上有一拐点P（2，4），在拐点P处曲线的切线斜率为－3，又知该函数的二阶导数y???6x?a,求此函数。
章节测试
1. f(x)?a0xn?a1xn?1?.....?an?1x?an，则?f(0)??? ，f(n)(0)? 。 2．y?x3?3x?33?xx，则y??_____________。 3．y?cosx在点x?4.
3?2 处的切线方程 。
dlnxdx?_________ 。
5．已知x??3是f(x)?asinx?1sin3x 的极值点，则a?______。 36．y?x3?3x2?5的拐点是 。
x37．曲线y?3 的渐近线是 ，
x?12x?1y?2ln?1 的水平渐近线是 。
2x8．设函数f(x)?(x?1)(x?2)(x?3)，则方程f?(x)?0有（ ）
A． 一个实根 B．两个实根 C．三个实根 D．无实根 9．y?(x?1)2在(??,??)上的极小值为（ ）
A．0 B．1 C． 2 D．不存在 10．函数y?e?x2（ ）
A．没有拐点 B．有一个拐点 C．有两个拐点 D．有三个拐点 11．函数y?4x?1（ ） 2(x?2)A．只有水平渐进线 B．只有铅直渐近线 C．没有渐近线 D．有水平并有垂直渐近线 12．函数y?x?1?2的极小值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
13．在区间[-1，1]上，下列函数不满足罗尔定理的是（ ）
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第二章 导数计算及应用
x2A．f(x)?e2?1 B．f(x)?ln(1?x2) C．f(x)?3x D．f(x)?11?x2 14．f?(x0)?0,f??(x0)?0是函数f(x)在点x?x0处有极值的一个（ ） A．必要条件 B．充要条件 C．充分条件 D．无关条件 15．y?x?2在区间（0，4）内（ ）
A．上凹 B．下凹 C．既有上凹又有下凹 D．直线段 16．下列条件中，对一切x?1均成立的是（ ）
A．ex?(e?1)x B．ex?(e?1)x C．ex?ex D．ex?ex
17．设y?f(x)，若f?(x，则limf(x0?2?x)?f(x0)0)存在，且f?(x0)?a?x?0?x?（ A．a B．2a Ｃ．?a Ｄ．a2
18．下列函数在点ｘ＝０处连续且可导的是（ ） Ａ．f(x)?3x Ｂ．f(x)?1x?1 Ｃ．f(x）???2x?1，x?0 x?0 D．?2x?3,x?0?x2?1,f(x)???x2?1,x?0
19. lim(11x?0x?sinx)
20. y?arctan1x，求y?。
21. y?(arcsinx22)，求y?
22. y?(1?x2)arctanx，求y?
123. y?2cosx，求dy
24. f(x)????x2, x?0xarctanx,x?0,求f?(x)
?25. f(x)?1(1?2x，求fn)(0) 26. y?arctan1x?xlnx，求y??
27. y?ln(1?2x)，求y???(0)
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）第二章 导数计算及应用
1?1?28. f(x)??1??，求f?()
2?x?29. y?xxsin?lnx??cos?lnx??，求y??(1) ?2arccosx1?1?x230. y? 求y? ?lnxx?(1?x)31. lim?x?0??e?32. lim1x?? ???1xln(xlnx),(a?0) ax???x33. 分析y?ln(x2?1)的单调性、凹凸性、极值、拐点
34. 讨论函数e在点x?0处是否可导？有没有极值？如果有求出其极值。 35. 设生产某种产品x个单位时，成本函数为c(x)?100?平均成本最小？
36. 某厂生产某产品，年产量为x（百台），总成本c(万元)，其中固定成本为2万元，每产100
台成本增加1万元，市场上每年可销售此种产品4百台，其销售总收入R(x)是x的函数，
x12x?6x（万元/单位）。当x=？时，412??4x?x,0?x?4R(x)??。问每年生产多少台时总利润最大？ 2??8, x?437. 某工厂每天生产x台袖珍收音机总成本为c(x)?12x?x?100（元），该种收音机独家经营，4市场需求规律为x?75?3p，其中p为单价，问每天生产多少台时获利最大？此时每台收音机价格如何？
238. 求函数f(x)?32x(x?6)在区间??2,4?上的最大值与最小值。
39．试证：若m?1,n?1，a?0，则xm?a?x?1n?mmnn?m?n?
m?nam?n
40．设x?0，证明：
2?1??ln?1???2x?1?x?1n?11n1n?11nx?x241．证明不等式：
aa?a?(n?1)2lna?a，（a?1,n?1）。 2n 56 / 49
第二章 导数计算及应用
单元练习题2答案
?2xy?y21、dy?x(lnx?1)dx，2、?12，3、y??2，4、y?f(x0)，5、1 2x?2xy?6yx6、(1,e?1);(2,2e?2)，7、y?1;x?1，8、?y?dy，9、e?1，10、(1,??)，11、k 12、?1，13、cos?f?sinf?x???f??sinf?x??cosf?x?f??x?，14、y??2x?1 15、C，16、B，17、C，18、B，19、A，20、C， 21、B，22、B，23、C，24、A 25、y??2?1sinx?sinx?2sin(x2?1)?，26、，27、y?xcosxlnx?dy?2xcos(x?1)edx??
1?x2x??yxdx，29、y??0??4 28、dy???xlnx?ylny?30、解：y??2xf?x2 y???2f?x2?4x2f??x2
u?131、解：设u?lnx?1，x?e，f?u??eeu?1???????3eu?1df?x?ex?1x?1?ee?3ex?1 ，
dxd2y?2?32. 32tdxe?sint?cost?dxdyetetttttydy?e?te??t?1?e，e?e?0???y??33. 解：
dtdtdte2e?etdydy11dydt1k???? ??t?1dx?2e2edxdx?(2e?et)(t?1)dt1??y??1?2?x?1??11???x?1?34. 解：y??x?1?， ?n?11?xx?1?1n!???y?n??,n?1??x?1??35. 用莱布尼茨公式。 36. y?n?
?n?2??n?1??1?x2??cosx??Cn?1?x2???cosx??n?1??Cn2?1?x2????cosx??n?2?
?n?1????n?n?1?co?sx??n?2???n?????1?x2co?sx?sx???2nxco????2?2?2??????
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