第二章 导数计算及应用
20．函数y?sinx在区间?0,??上满足罗尔定理的??（ ）
?? （C） （D）? 42f?x?f?x??（ ） 21．设f?0??0，且极限lim存在，则limx?0x?0xx（A）0 （B）
（A） f?(x) (B) f??0?
1f??0? 222. 设y?f(x)可导，则f(x?2h)?f（x）?
(C ) f?0? (D)
（A） f?(x)h?o(h) (B) ?2f??x?h?o?h? (C) ?f??x?h?o?h? (D) 2f??x?h?o?h?
23 若直线L与OX轴平行，且与曲线y?x?e相切，则切点坐标为：（ ） （A） ?1,1? (B) ??1,1? (C) ?0,?1? (D) ?0,1? 24.设f(x)?e3xxsin(3x)，则下列式中正确的是（）
1 (C) f??0??1 (D) f??0?不存在 3 （A） f??0??3 (B) f??0??25.设y?arctan26.y?esin(x27.y?xsinx2x?1,求y?. x?1?1),求dy
,求y?
yx28.设y?y(x)由x?y确定,求dy 29.y?x?1,求y???0? x?1230.设f(x)已知二阶可导函数,求y?f(x)的二阶导数. 31.f(lnx?1)?e?3x,求
t?d2y?x?esint32.?,求 2tdx??y?ecostxdf(x). dx 48 / 49
第二章 导数计算及应用
t??x?te33.设曲线x?x(t),y?y(t),由方程组?t确定，求该曲线在t?1时的斜率k。 y??e?e?2ex2n34.y?,求y??.
1?xn35.y?x3lnx,求y??. n36.y?(1?x2)cosx,求y??.
?x,x?01?37.f(x)??1?ex,求f??x? .
??0, x?01?,x?2?(x?2)arctan38.f(x)??，求f??x?. x?2??0, x?239.y?|?x?1?40.y?22
?x?1?3|,求y?.
x2?2x?3，求y?.
1?2xsin,x?0?41.f(x)??,（1）求f??x?, （2）求f??x?在x?0处是否连续. x?x2, x?0?dyd2yx,2 42.方程lny??0确定y?y(x),求
dxdxy?2?x2,|x|?243.设f(x)??，求f??x?。
2, |x|?2??g(x)?e?x,x?0?44.f(x)??，其中g(x)具有二阶连续导数，且g(0)?1,g??0???1, x?0, x?0?求（1）f??x?；（2）讨论f??x?的连续性。
45.证明曲线x?y?a，?a?0?的切线介于坐标轴之间的长度为一常数. 46.已知arctan232323ydy?lnx2?y2,求. xdx 49 / 49
第二章 导数计算及应用
?g(x)?cosx,x?0?47.已知f(x)??,其中g?x?有二阶连续导数,且g(0)?1. x?x?0?a,（1）确定a值，使f(x)在x?0处连续；（2）求f??x?。
?f(x),x?0?48．设f(x)有二阶连续导数，且f(0)?0，g(x)??x。
??f?(0)?0,x?0证明：g(x)有一阶连续导数。 49．求下列极限
1ln(1?)x?xxsinxxx （3）lim（1）lim （2）lim x?11?x?lnxx?0?x???arccotxx(1?cos)xx(e?1)?2(e?1)x12 ?) （5）lim（4）lim( （6）limx?11?xx?0x?0tanx?sinxlnxxsin2xxx50．证明下列不等式 （1）当x?0时，
x?ln(1?x)?x 1?x2332（2）当b?a?0时，3a(b?a)?b?a?3b(b?a)
（3）当x?0时，1?xln(x?1?x2)?1?x2 （4）当x?1时，2x?3?（5）当?1 x1?2?x??2时，cosx?1??x2 12p?1?xp?(1?x)p?1
（6）设0?x?1，p?1，证明不等式
ex51．分析函数y?的单调性、凹凸性、极值、拐点及渐近线。
x52．分析函数y?x(1?x)的单调性、凹凸性、极值、拐点及渐近线。 53．求内接于半径为R的半圆的矩形的最大面积。
54．已知三角形高h，底边长为l，求一边落于底边的内接矩形的最大面积。
55．把一根长为a的铅丝切成两段，一段围成圆形，一段围成正方形，问这两段铅丝各多长时，圆形面积与正方形面积之和最小？
56．用面积为A的一块铁皮做一个有盖圆柱形油桶，问油桶直径为多长时，油桶的容积最大？又这时油桶的高是多少？
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第二章 导数计算及应用
57．已知A、B两地相距30公里，如下图所示。在它们之间铺设一条管道，由于地质条件不同，在y?0地区，铺设管道费用为105元/公里，在y?0地区，铺设管道费用为6?104元/公里。求最经济的铺设路线。
yA??15,5?oB?15,5?
ooC O D oo图示2.6
x oo58．在直角坐标系的第一象限内作4x2?y2?1的切线，使其与两坐标轴所构成的三角形面积最小，求切点坐标。 59．一商家销售某种商品价格p?7?0.2x，其中x为销售量（单位：，商品的成本是c?3x?1kg）（百元）
（1）若每销售1kg商品，政府要征税t（百元），求商家获得最大利润是的销售量？ （2）商家获得最大利润前提下，t为何值时，政府的税收总额最大？ 历年真考题 1、（2001）若f(x)?f(?x)，且在(0,??)内：f?(x)?0,f??(x)?0， 则f(x)在(??,0)内必有（ ）
A. f?(x)?0,f??(x)?0 B. f?(x)?0,f??(x)?0 C. f?(x)?0,f??(x)?0 D. f?(x)?0,f??(x)?0
t?dy?x?te2、（2001）设参数方程为?；则? 。 2dxt?0??y?2t?t?2)?cos，求dy。 3、（2001）已知y?arctanx?ln(154、（2001）已知y?x?2x?lnydy，求xdx。
x?1y?15、（2001）已知曲线y?f(x)经过原点，并且在原点的切线平行于直线2x?y?3?0，若
2，且f(x)在x?1处取得极值，试确定a,b的值，并求出函数y?f(x)的表达式。 f?(x)?3ax?b?f(x)?6、（2001）设函数g(x)??x??ax?0x?0，f(x)具有二阶连续导数，且f(0)?0，（1）求a，
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第二章 导数计算及应用
使得g(x)在x?0连续；（2）求g?(0)。
f(h)?f(?h)?（ ）
h?0hA.f?(x) B. f?(0) C. 2f?(0) D. 2f?(x)
7、（2002）已知f(x)是可导函数，则lim8、（2002）若y?arctanex，则dy?（ ）
1exdx B. dx C. A.
1?e2x1?e2x11?e2xdx D.
ex1?e2xdx
9、（2002）已知f(x)在(??,??)内是可导函数，则(f(x)?f(?x))?一定是（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 不能确定奇偶性的函数
10、（2002）设函数y?y(x)由方程ex?ey?sin(xy)确定，则y?x?0? 。 11、（2002）函数f(x)?x的单调增加区间为 。 ex12、（2002）已知??x?a(cost?tsint)dy，求。
?dxt??y?a(sint?tcost)41?x?13、（2002）设f(x)??(1?x),x?0，且f(x)在x?0点连续。
?,x?0?k求（1）k的值；（2）f?(x)。
??1214、（2002）证明：当??x?时，cosx?1?x成立。
22?15、（2002）已知某厂生产x件产品的成本为C(x)?25000?200x?价格P之间的关系为：P(x)?440?12x（元），产品产量x与401x（元），求：（1）要使平均成本最小，应生产多少件产20品？（2）要企业生产多少件产品时，企业可获最大利润，并求最大利润。 16、（2003）已知f?(x0)?2，则limh?0f(x0?h)?f?x0?h??（ ）
hA. 2 B. 4 C. 0 D. －2
17、（2003）y?ln(x?1?x2)，则下列说法正确的是（ ） A. dy?1x?1?x211?x2dx B. y??1?x2dx
1x?1?x2C. dy?dx D. y?? 52 / 49