第一章 随机事件与概率习题参考答案与提示
1． 设A、B、C为三个事件，试用
A、B、C表示下列事件，并指出其中哪两个事件是互逆事件：
（1）仅有一个事件发生； （2）至少有两个事件发生； （3）三个事件都发生； （4）至多有两个事件发生； （5）三个事件都不发生； （6）恰好两个事件发生。 分析：依题意，即利用事件之间的运算关系，将所给事件通过事件 解：（1）仅有一个事件发生相当于事件
A、B、C表示出来。
有一个发生，即可表示成
ABC、ABC、ABCABC?ABC?ABC；
类似地其余事件可分别表为 （2）
AB?BC?AC或ABC?ABC?ABC?ABC；（3）ABC；（5）
；（4）
ABC或
A?B?CABC；（6）
ABC?ABC?ABC或AB?BC?AC?ABC。
由上讨论知，（3）与（4）所表示的事件是互逆的。
2．如果x表示一个沿着数轴随机运动的质点位置，试说明下列事件的包含、互不相容等关系：
A??x|x?20? B??x|x?3? C??x|x?9? D??x|x??5? E??x|x?9?
解：（1）包含关系：D?C?A 、 E?B 。
（2）互不相容关系：C与E（也互逆）、B与D、E与D。
3．写出下列随机事件的样本空间：
（1） 将一枚硬币掷三次，观察出现H（正面）和T（反面）的情况； （2）连续掷三颗骰子，直到6点出现时停止, 记录掷骰子的次数； （3）连续掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和；
（4）生产产品直到有10件正品时停止，记录生产产品的总数。 解：（1）?（2）?（3）?（4）???HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT?；
??1,2,??； ??3,4,?,18?； ??10,11,??。
A、B、C有P(A)?P(B)?P(C)?1/4, P(AC)?1/8，
4．设对于事件
P(AB)?P(BC)?0，求A、B、C至少出现一个的概率。
提示：
A、B、C至少出现一个的概率即为求P(A?B?C)，可应用性质
4及性质5得
P(A?B?C)?5/8
5．设
A、B为随机事件，P(A)?0.7，P(A?B)?0.3，求P(AB)。
提示：欲求P(AB)，由概率性质3可先计算P(AB)。 解：由于A?AB?(A?B)，且AB?(A?B)??，从而
?P(AB)?P(A?B)
1
P(A)
即
P(AB)由概率性质3得
?P(A)?P(A?B)?0.4
P(AB)?1?P(AB)?1?0.4?0.6。
6．已知事件
且P(A)?1/3，求P(B)。 (ABP)?(A?B)A、B满足P 解法一：由性质（5）知
（性质5） P(B)=P(A?B)?P(A)?P()AB =1 （性质3） ?P(A?B)?P(A)?P(AB) =1 （对偶原理） ?P(A?B)?P(A)?P(AB)=1?PA()=1? 解法二：由于
=P P(ABP)?(A?B)(A?B)?1?P(A?B)12?33 （已知条件）
=1?从而得
1?P(B)?P(AB) 32?P(B)?0，即 32 P(B)?
3
7．一个袋中有5个红球2个白球，从中任取一球，看过颜色后就放回袋中，然后再从袋中任取一球。求：（1）第一次和第二次都取到红球的概率； （2）第一次取到红球，第二次取到白球的概率。 “第一次和第二次都取到红球”； A表示：
B表示：“第一次取到红球，第二次取到白球“。 （1）由于n(A)=5?5，且n(?)=7?7，故
解：设
P(A)?n(A)25?
n(?)49n(B)10?
n(?)49 （2）由于n(B)=5?2，且n(?)=7?7，故 P(B)? 8．一批产品有8个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回）。求：（1）两次都取到正品的概率；
（2）第一次取到正品，第二次取到次品的概率； （3）第二次取到次品的概率； （4）恰有一次取到次品的概率。
解：设Ai表示：“第i次取出的是次品”（i=1，2），则所求概率依次化为P(A1A2)、P(A1A2)、
2
P(A2)?P(A1A2?A1A2)、P(A1A2?A1A2)。
由于无放回地从10个产品中任取两次，每次取一个，第一次有10个可取，第二次有9个可取，因此
n(?)?10?9。
（1）由于n(
A1A2)?8×7，所以
?8?728?
10?945 P(A1A2)（2）n(
A1A2)?8×2，所以
P(A1A2)?或直接用乘法公式 P(A1A2) （3）由于n( P(A2)8?28?
10?945828?? 10945?P(A1)P(A2|A1)?A1A2)?2×1，n(A1A2)?8×2，且A1A2?A1A2??，所以
28?21??。
10?910?95?P(A1A2)?P(A1A2)?或直接用乘法公式 P(A2)?P(A1A2?A1A2)?P(A1A2)?P(A1A2)
|A1)?P(A1)P(A2|A1)?21821???? 1091095 ?P(A1)P(A2 （4）由于A1A2、A1A2互不相容， P(A1A2?A1A2)?P(A1A2)?P(A1A2)
P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)
288216????。 10910945 ? ? 9．设有80件产品，其中有3件次品，从中任取5件检查。求所取5件中至少有3件为正品的概率。
解：设
A：“所取5件中至少有3件为正品”；则A的对立事件为至多有2件为正品，即：“恰有2件
为正品”（最多有3件次品）。因此
23C3n(A)C778215 P(A)?1?P(A)?1? ??5n(?)8216C80或：n(A)32415 ?C77C3?C77C3?C77 P(A)?32415C77C3?C77C3?C775C80?8215。
8216 3
10．从5双不同的鞋子中任取4只，求4只鞋子至少有2只配成一双的概率。
分析：直接求4只鞋子至少有2只配成一双的概率不易得到正确的结果，这是由于所考虑事件比较复杂，解决此类问题的方法通常是利用概率性质3，即先求逆事件的概率。该题的解法较多，现分述如下： 解：设事件
A表示：“取出的4只鞋子至少有2只配成一双”，则事件A表示：取出的4只鞋任意两
只均不能配成一双”。
方法一．若取鞋子是一只一只地取（不放回），则共有取法10×9×8×7种， 而取出的4只鞋任意两只均不能配成一双的取法共有10×8×6×4种，所以 P(A)?1?P(A)?1?10?8?6?413?
10?9?8?7214 方法二、从5双不同的鞋子中任取4只，共有C10=210种取法。取出的4只鞋任意两只均不能配成一双共有C54?24=80种取法（先从5双中任取4双共C54种取法，然后从每双鞋子中任取一只，每双鞋子
4有2种取法，故共有2种取法）。所以 P(A)?1?P(A)?1?8013? 21021k 方法三、为了使取出的4只鞋子任意两只均不能配成一双，故可考虑4只鞋子中取左脚（k只，右脚4?k只（这4?k只右脚只能从剩余的5??0，1，2，3，4)有
k双鞋子中任取）其共
?Ck?04k5?kC54?k?80种取法，故
P(A)?1?P(A)?1?8013? 21021 方法四、（直接法）设事件Ai表示：“取出的4只鞋子恰有i双配对”（i=1，2），则且
A?A1?A2，
A1?A2??。A1包含基本事件数为从5双鞋子中任取一双，同时在另外4双鞋子中任取不能配对的
12两只的不同取法共有CC5(8不同取法共有C5种。故
21221；A2包含基本事件数为从5双鞋子中任取2双，?C4)种（C5(C4?2)）
11C5(C82?C4)C5213 P(A)?P(A1)?P(A2)? ?4?4C10C1021 11．假设每个人的生日在一年365天都是等可能的，那么随机选取n(?365)个人，求他们的生日各不相同的概率及这n个人至少有两个人生日在同一天的概率；若n，求上述两个事件的概率。 ?40 分析：此问题属于占位问题。 解：设
A表示事件：“n个人的生日各不相同”；B表示事件：“这n个人至少有两个人生日在同一天”。
由于每个人的生日在一年365天都是等可能的，所以
nA365P(A)?。
365n 由于B事件是A事件的对立事件，所以 nA365 P(B)?1?P(A)?1?365n 若取n?40，则
n(?)=
n365n，n(A)?A365，从而
4
40A365?0.109 P(A)?40365 P(B)?1?P(A)?1?0.109?0.891
12．某进出口公司外销员与外商约谈，两人相约某天8点到9点在预定地点会面，先到者要等候另一个人20分钟，过时就离去，若每人在这指定的一个小时内任一时刻到达是等可能的，求事件会面}的概率。 解：设x、A={两人能
y分别表示两人到达预定地点
的时刻，那么两人到达时间的可能结果 60 对应边长为60的正方形里所有点（见图1-1）， 这个正方形就是样本空间?，而两人能会面 的充要条件是
x?y?20，即x?y?且 20所以，事件
x?y??20，
图1-1
A对应图中阴影
部分里的所有点。因此，所求概率为
22?(A)60?405 P (A)???2?(?)960 13．设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时被打破的概率为3/10，第二次落下时被打破的概率为1/2，第三次落下时被打破的概率为9/10，试求透镜落下三次未打破的概率。
分析：解决此问题的关键在于正确理解题意，弄清概率1/2、9/10的具体含义。依题意“第二次落下时被打破的概率为1/2”指的是第一次落下未被打破的情况下，第二次落下时被打破的概率；概率9/10的含义类似。
(i 解：设Ai表示“第i次落下时未被打破”
P(A)?1，2，3)，A表示“落下三次未被打破”，则
A?A1A2A3，
?P(A1A2A3)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)
(1?3197)?(1?)?(1?)? 10210200 ?A）的概率为4/15，刮风（记作事件B）
的概率为7/15，刮风又下雨（记作事件C）的概率为1/10。求P(A|B)，P(B|A) ，P(A?B)。
14．由长期统计资料得知，某一地区在4月份下雨（记作事件
解：P(A|B)?A)?P(AB)1/103??
P(B)7/1514P(AB)1/103??
P(A)4/158 P(B|47119???. 1515103015．设A、B为随机事件，若P(A)?0.5，P(B)?0.6，P(B|A)?0.8，求：
P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)? 5