D(X?Y)?DX?DY?2??xyDXDY?85 D(X?Y)?DX?DY?2??xyDXDY?37
20．设
X与Y方差分别为4和1，协方差Cov(X,Y)?0.8，求：
（1）
X与Y的相关系数?XY；
?3Y)及D(2X?3Y)。
的相关系数
（2）D(2X分析：
X与Y?XY可由相关系数的定义(3-16)式直接求得。D(2X?3Y)及
D(2X?3Y)可由方差的性质2、协方差的性质及其关系求得。
解：（1）由题设知DX?4,DY?1,Cov(x,y)?0.8，从而得
?XY?Cov(x,y)0.8??0.4
DXDY4?1由方差的性质，协方差的性质及其关系可知
D(2X?3Y)?4DX?9DY?2Cov(2X，3Y)
?4?4?9?1?2?2?3?0.8?34.6
D(2X?3Y)?4?4?9?1?2?2?3?0.8?15.4
21．设
2X表示10次独立重复射击命中目标的次数，若每次命中目标的概率为0.4，则X2的数学期
望EX 。
分析：由题意，X而
EX2222~B(10，0.4)，由于D，所以E，X?EX?(EX)X?DX?(EX)?np?10?0.4?4
np(1?p)?10?0.4?0.6?2.4
X? D故 EX22．已知设Z2?2.4?42?18.4
X、Y分别服从正态分布N(0，32)和N(1，42)，且X与Y的相关系数?XY??1/2，
?X/3?Y/2，求：
（1）求数学期望EZ，方差DZ；
36
（2）Y与Z的相关系数?YZ；
分析：本题要求熟悉数学期望、方差、协方差的性质、计算及有关正态分布的性质。 解：（1）由数学期望、方差的性质及相关系数的定义得 EZ?E(?D(XYXY111?)?E()?E()??0??1? 3232322XYXYCov(X,Y)XY?)?D()?D()?2Cov(，) (?XY?323232DXDY)
DZ1111DX?DY?2???XYDXDY
3232221111122 ?2?3?2?4?2???(?)?3?4?1?4?2?3；
32232 ? （2）由协方差的性质3得
1111?Cov(Y，X?Y)?Cov(Y,X)?Cov(Y,Y)
332211 ??YXDYDX?DY?6
32 Cov(Y，Z)从而有
X与Z的相关系数?YZ?Cov(Y,Z)DYDZ?3 ； 223．设X和Y的相关系数为0.5,EX解： E(X?EY?0,EX2?EY2?2,求E(X?Y)2。
?Y)2=EX2?2E(XY)?EY2
?EY]
=4+2[Cov(X,Y)?EX ?4?2?XY?DX?DY?4?2?0.5?2?6。
24．假设一部机器一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周5个工作日里无故障可获利10万元，发生一次故障仍获利5万元，发生二次故障获利0元，发生三次或三次以上要亏损2万元，求一周内期望利润。
分析：一部机器在一周5个工作日可视为5重贝努利试验，因此一周5个工作日里机器发生故障的次数（记为
X）服从二项分布。若以Y表示生产利润，则Y是X的函数，因此问题化为求随机变量函数的
数学期望。
解：设Y表示生产利润，
X表示每周发生故障的次数，则
X~B(5，0.2)，其概率分布为
kP{X?k}?C50.2k?0.85?k，又Y是X的函数，其可能取值为－2，0，5，10。所以
P{Y P{Y?10}?P{X?0}?0.85?45/55?1024/3125
1?5}?P{X?1}?C5?0.2?0.84?5?44/55?1280/3125
37
P{Y P{Y EY2?0}?P{X?2}?C5?0.22?0.83?10?43/55?640/3125
??2}?P{X?3}?1?P{X?3}?181/55?181/3125
1024128064018116278?5??0??(?2)???5.20896
31253125312531253125?10?故一周内期望利润为5.21万元。
(25．设随机变量X、Y独立同服从正态分布N(0，12))，求DX?Y2。
分析：由于随机变量X、Y相互独立同分布，故联合概率分布为
f(x,y)?112??2e1?(2x2?2y2)2?1?e?(x2?y2) (???x,y???)
解法一：EX?Y?????????????x?yf(x,y)dxdy
x2 ? ? ?????221????dx?(x?y)e?(x??x?y2)dy?dy
????1????dy?(y?x)e?(x??y2?y2)dx
??dx?(x?y)e?(x????y2?y2)?2[?dy?????xe?(x2?y2)dx??dx?ye?(x????x2?y2)dy]
???????e?2y2dy?212????1?2????ey212?4dy?2?
解法二：设Z且Z?X?Y，由X??、Y独立同服从正态分布知，X、Y的线性函数也服从正态分布，
2?X?Y~N(0?0，?12?(?1)2?2)?N(0，1)，所以
EX?Y?EZ????z?(z)dz???z?(z)dz??z?(z)dz
??00?? ?22???0z?12?e1?z22dz???2?
又EZ?EZ2?DZ?(EZ)2?1，所以DX?Y?1?2?。
26．设灯管使用寿命
X服从指数分布，已知其平均使用寿命为3000小时，现有10只这样的灯管（并
联）每天工作4小时，求150天内这10只灯管（1）需要换管的概率；（2）平均有几只需要更换；（3）需要更换灯管数的方差。
分析：若设Y表示150天内这10只灯管需要更换的只数，则Y服从二项分布，即
Y~B(10，P{X?600})，所以问题（1）即是求P{Y?1}；问题（2）即是求EY是求DY。
38
；问题（3）即
??e??x，x?0 解：由题设知X~f(x)??（?待定），由已知条件
?0，x?0 EX从而解得?????0x?e??xdx?1??3000
?13000，即
1x?1?3000?e，x?0
X~f(x)??3000?0，x?0? （1）150天内每只灯管工作600小时，因此150天内需要换管的概率为 P{X?600}??60001?x/3000edx?1?e?0.2， 300?0.2 设Y表示150天内这10只灯管需要更换的只数，则Y服从参数为1?e的二项分布，即
Y~B(10，1?e?0.2)。因此需要换管的概率为
P{Y （2）EY （3）DY?1}?1?P{Y?0}?1?(1?e?0.2)0(e?0.2)10?1?e?2；
?np?10?(1?e?0.2)?10?10e?0.2； ?np(1?p)?10(1?e?0.2)e?0.2。
27．设
，2，3)，又设?与?独立同分布，已知?的概率分布为P{??i}?1/3(i?1X?max{?，?}，Y?min{?，?}。求：
（1）EX、EY； （2）随机变量
X，Y的协方差。
分析：欲求EX、EY及Cov(X，Y)，需先求(X，Y)的概率分布及EXY。
解：由条件?与?仅取1、2、3知X、Y也仅取1、2、3，故(X，Y)的可能取值为（1，1）、（2，1）、（2，2）、（3，1）（3，2）、（3，3）,而 P{X同理得 P{X P{X又{X?2，Y?1}?P{??2，??1}?P{??2，??1}?2 9112?? 999?3，Y?1}?P{X?3，Y?2}??1，Y?1}?P{X?2，Y?2}?P{X?3，Y?3}?1 9?1,Y?2}、{X?1,Y?3}、{X?2,Y?3}均为不可能事件，所以其概率均为零，故
39
(X，Y)概率分布为
Y X 1 2 3 1 1/9 2/9 2/9 2 0 1/9 2/9 3 0 0 1/9 关于X的边缘概率分布为
X 1 2 3 P 1/9 3/9 5/9 关于Y的边缘概率分布为
Y 1 2 3 P 5/9 3/9 1/9 13522?1??2??3??
999953114 EY?1??2??3??
999912122136 （2）EXY?1?1??2?1??2?2??3?1??3?2??3?3??999999936221416??? Cov(X，Y)=EXY?EXEY?99981（1）EX28．设某种商品每周的需求量
X是服从区间[10，30]上均匀分布的随机变量，而经销商店进货数量为
区间[10，30]中的某一整数，商店每售出一单位商品可得利500元；若供大于求则削价处理，每处理一单位商品亏损100元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每单位商品仅获利300元，为使商店所获利润期望值不小于9280元，试确定最小进货量。
分析：依题意，需求量X服从[10，30]上的均匀分布，因此其概率密度为
?1?，10?x?30f(x)??20
?它?0，其而此商店经销该种商品每周所得利润是与X和进货数量n有关的，所以该问题化为求利润函数的数学期望。
解：依题意，设利润函数为Z(X)，且有
Z?500n?300(x?n)，x?n ??500x?100(n?x)，x?n???130Z(x)dx EZ?EZ(X)??Z(x)f(x)dx???20?10
40