P{X??28}；P{X??15}。
13?1010?10?X?13}??()??()
223 ??()?0.5?0.9332?0.5?0.4332
2解：P{1013?10?13}?1?P{X?13}?1??()
23 ?1??()?1?0.9332?0.0668
2 P{X12?108?10X?10|?2}?P{8?X?12}??()??()
22 ??(1)??(?1)?2?(1)?1?2?0.8413?1?0.6826
P{|?28?10)??(?19)?0 2?1.5?10)?1 P{X??1.5}?1?P{X??1.5}?1??(214．设测量从某地到某目标的距离时，带有的随机误差X具有分布密度
21e?(x?20)/3200 f(x)?402? P{X??28}??(（1）求测量误差的绝对值不超过30的概率；（2）如果接连测量三次，各次测量是相互独立的，求至少有一次误差的绝对值不超过30的概率。
30?20?30?20)??() 4040 ??(0.25)??(?1.25)??(0.25)??(1.25)?1
解：（1）P{|X|?30}?P{?30?X?30}??( ?0.5987?0.8944?1?0.4931
（2）设Y表示3次独立重复测量中事件{X?30}出现的次数，则Y服从二项分布，即
}。 ,从而问题化为求P{Y?1Y~B（3,0.4931） P{Y?1}?1?P{Y?1}?1?P{Y?0}
00 ?1?C3(0.4931) 15．在电源电压不超过200、2000.1、0.001和0.2，假定电源电压
(1?0.4931)3?0.8698
~240和超过240伏三种情况下，某种电子元件埙坏的概率分别为
~240伏内的概率?（1）该电子元件被埙坏的概率?； X~N(220，252)，试求：
。
（2）电子元件被埙坏时，电源电压在200 分析：电子元件被埙坏时，电源电压只可能是不超过200、200因此（1）属于全概率问题；（2）属于条件概率问题。 解：设A1：“电源电压不超过200伏”； 由于
~240和超过240伏三种情况下之一，
A2：“电源电压在200~240伏”；
“电源电压超过240伏”； B：“电子元件被埙坏”。 A3：
X~N(220，252)，所以
16
200?220)
25 ??(?0.8)?1??(0.8)?1?0.788?0.212
P(A1)?P{X?200}?F(200)??(240?220200?220)??()
2525 ??(0.8)??(?0.8)?2?(0.8)?1?0.576
P(A2)?P{200?X?240}??( P(A3)?或 P(A3)P{X?240}?1??(240?220)?1??(0.8)?1?0.788?0.212
25?1?P(A1)?P(A2)?0.212
A1)?0.1,P(B|A2)?0.001,P(B|A3)?0.2，所以由全概率公式 ?P(B)??P(Ai)P(B|Ai)
i?13 由题设P(B| ? ?0.212?0.1?0.576?0.001?0.212?0.2?0.0642 由条件概率公式 ??P(A2|B)?P(A2)P(B|A2)0.576?0.001??0.009
P(B)0.064216．随机向量(X,Y)的分布密度为
??A(R?x2?y2),x2?y2?R2f(x,y)???0,x2?y2?R2?
求（1）系数
222A；（2）(X,Y)落在圆x?y?r(r?R)内的概率。
解：（1）由归一性， 1???Gf(x,y)dxdy??d??A(R?r)rdr
002?R1213RA?R3 ?2A?(Rr?r)|0?2333得A?。 3?R（2）P{(X,Y)?D}?2
x?y2?r2??f(x,y)dxdy??d??02?3(R?r)rdr
0?R3r61213r3r22r(1?) ?3(Rr?r)|0?2233RRR17．(X,Y)只取下列数组中的值（0，0），（-1，1），（-1，1/3），（2，0），其相应的概率依次为1/6，
1/3，1/12，5/12，试列出(X,Y)的概率分布表，并求出关于Y的边缘分布。
解：(X,Y)的概率分布表为
Y X -1 0 2 0 0 1/6 5/12 1/3 1/12 0 0 17
1 1/3 0 0 关于Y的边缘分布为
Y 0 1/3 1
pk 7/12 1/12 1/3 18．袋中装有标有号码1，2，2的三只球，从袋中任取一球后不再放回，然后再从袋中任取一球，以X、
Y分别表示第一次、第二次取得球上的号码。求X和Y的联合概率分布。
（X，Y）解：的所有可能取值为(1，2)、(2，1)、(2，2)，由概率乘法公式得
11p12?P{X?1，Y?2}??1?
33211 p21?P{X?2，Y?1}????p22
323 此外{X?1，Y?1}是不可能事件，所以p11?0,于是（X，Y）的概率分布表为
Y X 1 2 1 0 1/3 2 1/3 1/3 0?y?2,?C，0?x?1，(X，Y) 19．设的概率密度为f(x，y)??求：
0，其它,?（1）常数C；
（2）(X，Y)关于
X、Y的边缘概率密度；
（3）随机变量X与Y是否相互独立，为什么？ 解：（1）由归一性 1?解得C??????f(x，y)dxdy?C?0dx?0dy?2C
fX(x)????f(x,y)dy???????12?1/2
（2）
12dy?1(x?0) ?02所以
?1,fX(x)???0,????x?0 x?0(y?0)
fY(y)??所以
111f(x,y)dx??dx?202?1/2,fY(y)???0,y?0 y?0与Y相互独立。
（3）由于
fX(x)fY(y)?f(x,y)，故随机变量XX，Y）的分布函数
xy) F(x,y)?A(B?arctan)(C?arctan2320．设随机向量（
18
A、B、C；
（2）（X，Y）的分布密度；
求：（1）系数
（3）边缘分布密度。
解：（1）由分布函数性质
y???limF(x,y)?A(B?arctanx?)(C?)?0 （1） 22y)?0 （2） 3
x???limF(x,y)?A(B??2)(C?arctan
limF(x,y)?A(B?)(C?)?1 （3） x???22y??????由（1）得C函数为
F(x,y)?2，由（2）得B??2，代入（3）得
A?1?2。故随机向量（
X，Y）的分布
?1?x?y(?arctan)(?arctan) 22223?（2）由分布函数性质（4）知
?2F(x,y)16 f(x,y)??222?x?y?(4?x)(9?y)（3）
fX(x)??f(x,y)dy?????6dy
2?22???(4?x)(9?y)??1 ?2
?(4?x2)????
fY(y)??f(x,y)dx?3 2?(9?y)6dx
2?22???(4?x)(9?y)??1 ? 21．设二维随机变量（X，Y）的概率分布为
0?y?x?4.8y(2?x)，0?x?1， f(x,y)??0，其它?fX(x)、fY(y)。
求随机变量X和Y的边缘分布密度
分析：二维随机变量（X，Y）关于随机变量X和Y的边缘概率密度，可应用（2-10）式和（2-11）式求得。
解：（1）如图2-4，由（2-10）式知，当0???xx?1时 y
fX(x)=?f(x,y)dy??4.8y(2?x)dy y?x ??0 19
12 ?4.8(2?x)?y2其它情形
x0?2.4(2?x)x2 fX(x)均为零，故X的边缘概率密度为 o 1 x
?2.4(x?2)x2，0?x?1 图2-4 fX(x)=?0，其它?y?1时
??1 同理，当0?
fY(y)=?f(x,y)dx??4.8y(2?x)dx
??y ?4.8y[? 其它情形
11(2?x)2]y?2.4y(3?4y?y2) 2的边缘分布密度为
fY(y)均为零，故Y
?2.4y(3?4y?y2)，0?y?1 fY(y)??0，其它?（X，Y） 22．设的分布密度为
?1，y?x，0?x?1 f(x,y)??其它?0，（1）求条件分布密度
（2）判断X，Y是否独立。 fX|Y(x|y)及fY|X(y|x)；
分析：条件分布密度
fX|Y(x|y)及fY|X(y|x)，可由（2-17）及（2-19）式求得，这就需先求关
于X、Y的边缘概率分布。 解：（1）
f(x，y)的非零取值区域如图2-5阴影部分，由（2-10）式，当0?x?1时，
其它情况
fX(x)=?????f(x,y)dy??dy?2x
?xxfX(x)均为零，故关于X的边缘分布密度为 y y?x
?2x，0?x?1 fX(x)??0，其它?x?1时，Y的条件分布密度为 o 1 x 由（2-19）式知，当0?
?1?，y?xfY|X(y|x)??2x y??x ??0，其它 同理，由（2-11）式 图2-5
20