8．设X的概率分布为
1?,当x?1,?2 f(x)???1?x?0,当x?1,?求X的数学期望EX和方差DX。
分析：该题考察计算连续型随机变量的数学期望和方差的公式。 解：由数学期望的定义，有
EX??????xf(x)dx??1x?1?1?x2dx，
由
y?x?1?x2是奇函数，故有
EX?0，
DX?EX?EX?EX??22????x2f(x)dx
??令x1x2?1?1?x2dx?2?1x20?1?x2dx，
?sint，则有
?DX?2?sin2t20?dt????22?20sintdcost
??sintcost2???02?2???20cos2tdt
?1?从而可得 DX??20sin2tdt
?1。 2118 119 120 121 122 9．设用A、B两测量仪器测量某一产品的直径多次，结果如下表：
XA pk
0.06 0.14 0.60 0.15 0.05 XB 118 119 120 121 122 31
pk 0.09 0.15 0.52 0.16 0.08 试比较两种仪器的优劣。
分析：由于题设中没有给出所测产品直径的真实值，故要比较两种仪器的优劣，就是要比较这两种仪器哪个的测量精度更高一些，即要比较两种仪器测量的方差哪个更小一些。
解：由题设，得
EXA?118?0.06?119?0.14?120?0.60?121?0.15?122?0.05?120.99， EXB?118?0.09?119?0.15?120?0.52?121?0.16?122?0.08?119.99。
而 DXA?E(XA?EXA)2?(118?120.99)2?0.06?(119?120.99)2?0.14 ?(120?120.99)2?0.60?(121?120.99)2?0.15?(122?120.99)2?0.05
=1.104。
DXB?(118?119.99)2?0.09?(119?119.99)2?0.15?(120?119.99)2?0.52?(121?119.99)2?0.16?(122?119.99)2?0.08
=0.6552。
显然有DXA
?DXB，可见A 仪器的测量误差要比B仪器的测量误差大，故B仪器要优良些。
10．设X的概率分布为
?e?x,x?0 f(x)??0,x?0??e?2X的数学期望。
??0求：（1）Y?2X的数学期望；（2）Y??解：EY EY?E2X??2xf(x)dx??2xe?xdx?2
???Ee?2X??e?2xf(x)dx??e?2xe?xdx?1/3
??0????11．试证明事件在一次试验中发生的次数的方差不超过
14。
分析：事件在n次独立重复试验中发生的次数服从参数为n，次试验中发生的次数应服从B(1,p的二项分布B(n,p)，当然在一
p)，即为(0-1)分布。
证明：令
?1，事件A在试验中发生， X???0，事件A在试验中不发生. 32
显然，则EX而
X~B(1,p)其中p表示每次试验中事件发生的概率。
?p，DX?p(1?p)?p?p2。
11，故有DX?， 44p?p2?即事件在一次试验中发生的次数的方差不超过 12．设X、Y的概率分布分别为
14。
?2e?2x，x?0?4e?4y，y?0 f(y)?? f(x)???0，x?0?0，y?0求：E(X?Y)和E(2X?3Y2)。
?Y)和E(2X?3Y2)，关键是计算EX?、DY、EY、EY。
2 分析：由数学期望性质知，要计算E(X11； EY=
42113? E(X?Y)?EX?EY??244 解：由于X,Y均服从指数分布，故知EX E(2X?1，因此由数学期望性质得 16?3Y2)?2E(X)?3E(Y2)?1?3(DY?(EY)2)?1?35? 88 13．设X、Y是两个相互独立的随机变量，其概率分布分别为
?2x,0?x?1?e?(y?5)，y?5 ； f(y)?? f(x)??0,其它??0，其它??1求EXY。 解：EX EY EXY??xf(x)dx??2x2dx???02 3??yf(y)dx????????5ye?(y?5)dy?6
?EXEY?2?6?4 3?1.7，方差DX?3。试求：
14．设随机变量X服从正态分布，其数学期望EX（1）X的概率密度； （2）Y?1?2X的概率密度。
解：由题意知，随机变量X服从正态分布，即
X~N(1.7，(3)2)，其概率密度为
?(x)?16?e?(x?1.7)2/6 (???x???)
由正态随机变量的线性函数仍服从正态分布知，随机变量
Y?1?2X的分布应为
33
Y~N(EY，DY)。又EY?E(1?2X)?1?3.4??2.4，DY?D(1?2X)?4DX?12，
所以Y~N(?2.4，12)，其概率密度为
?(y)?126?e?(y?2.4)2/24 (???y???)。
15．设随机变量X（1）Z~N(1,22)、Y~N(0,1)，且相互独立，求：
?2X?Y的期望和方差； （2）Z?2X?Y的期望和方差。
分析：由两个独立的正态随机变量的线性函数也服从正态分布即可得到相应分布，进而求得其期望和方差。 解：（1）由
X~N(1,22)、Y~N(0,1)，且相互独立知，
Z?2X?Y~N(2,17)
从而得 EZ?2,DZ?17.
（2）同样由
X~N(1,22)、Y~N(0,1)，且相互独立知，
Z?2X?Y~N(2,17)
从而得 EZ?2,DZ?17.
?1)(X?2)]?1，求?。
16．设随机变量X服从参数为?的泊松分布，且已知E[(X解：E[(X?1)(X?2)]?E(X2?3X?2)?EX2?3EX?2
?即?2???2?3??2=1
?2??1?0，解得?=1。
17．设二维随机变量(
X，Y)的联合概率分布律为
X Y 0 1 0 0.1 0.2 1 0.3 0.4 求：（1）EX，EY，DX，DY； （2）(
X，Y)的协方差，相关系数，协方差阵，相关阵。
解：（1）关于X和Y的边缘分布律分别为
X 0 1 Y 0 1 P 0.3 0.7 P 0.4 0.6
34
所以 EX EY?0.7 DX?EX2?(EX)2?0.7?0.49?0.21 ?0.6 DY?EY2?(EY)2?0.6?0.36?0.24
（2）EXY?0.4； Cov(X,Y)?EXY?EXEY?0.4?0.7?0.6??0.02
?XY?Cov(X,Y)?0.02??0.089
DXDY0.210.24协方差阵为 ??0.21?0.02???0.020.24?? ???0.089??1?相关阵为 ???0.089? 1??（X，Y） 18．设随机变量的概率密度为
?1?(x?y)，0?x?2，0?y?2f(x,y)??8
?0，其它?求相关系数?XY。
分析：欲求相关系数，需先求DX、DY、EX、EY、Cov(X，Y)。 解：EX???xf(x,y)dxdy?G212127 xdx(x?y)dy?x(2x?2)dx????000886212127 EY???yf(x,y)dxdy??ydy?(x?y)dx??y(2?2y)dy?
080806G EXY???xyf(x,y)dxdy?G22124 xdxy(x?y)dy???008321225 EX???xf(x,y)dxdy??xdx?(x?y)dy?
0803G2 DX同理得DY?EX2?(EX)2?57211?()? 3636?11/36，进而得
Cov(X,Y)?EXY?EX?EY?4491??? 33636 ?XY?Cov(X,Y)DXDY?136??1。
1111113636?X?Y)及D(X?Y)。
19．设两个随机变量X、Y的方差分别为25及36，相关系数为0.4，求D(
解：由方差的性质知
35