P{X P{X P{X ?? P{X ??
?1}?p ?2}?p(1?p)
?3}?p(1?p)2
?k}?p(1?p)k?1
所以射击次数X的分布律为
X 1 2 3 ?? k ??
pk p p(1?p) p(1?p)2 ?? p(1?p)k?1 ??
2．一批零件中有9个合格品与3个废品，安装时从这批零件中任取一个，如果每次取出的废品不再放回，求在取得合格品以前取出的废品数的分布律。
分析：在取得合格品以前取出的废品数是一随机变量，要求其分布律，只需确定随机变量的一切可能取值及相应的概率即可。
解：设X表示在取得合格品以前取出的废品数，由题意知X的可能取值为0，1，2，3，而 P{X P{X?0}?3/4（X?0相当于第一次取到的是合格品） ?1}?199??（X?0相当于第二次才取到合格品） 411441299?? P{X?2}??
41110220 P{X?3}?1211???1? 41110220所以，随机变量X的分布律为
X 0 1 2 3
pk 3/4 9/44 9/220 1/220 3．设随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
pk 1/5 2/5 3/10 1/10 ?2}；1?X?3} （3）P{求：（1）X的分布函数F(x)；（2）P{X解：（1）由概率分布与分布函数的关系式 F()x?P{X?x}?x?xkp?k
得X的分布函数F(x)
?0，x?0?1/5，0?x?1?? F(x)?P{X?x}??3/5，1?x?2
?9/10,2?x?3??3?x?1, 11
（2）P{X?2}?F(2)?3/5；
（3）P{1?4．已知
X?3}?F(3)?F(1)?9/10?1/5?7/10。
1F2(x)是某一随机变量的分布2Xi(i?1,2)的分布函数为Fi(x)。设F(x)?aF1(x)?函数，求常数a。
1F2(x)是某一随机变量的分布函数，由分布函数的性质知，必有 21 limF(x)?lim(aF1(x)?F2(x))=1 x???x???2即a?b?1，从而解得a?1/2。
解：要使F(x)?aF1(x)? 5．将3个球随机地放入4个杯子中去，求某杯中有球个数的分布律。
分析：某杯中有球个数只有4种可能：3个球都在该杯中；3个球中的两个球放在该杯中；3个球中的一个球放入该杯中；3个球都不在该杯中。因此某杯中有球个数是一个离散型随机变量，它可能的取值为0，1，2，3。运用第一章的有关知识可求出取相应值的概率。若将每个球随机地放入4个杯子中，它是否落入某杯中看作一次试验，则它是一贝努利试验。随机地将3个球放入4个杯子中去，即是三重的贝努利试验，因此某杯中有球个数服从二项分布。
解法一：设X表示“某杯中有球个数”，则X可能取值为：0，1，2，3。而将3个球随机地放入4个杯子中去共有4种放法，
3X?0即3个球随机地放入其它3个杯子中去，共有33种放法，所以
33 P{X?0}?34同理得
1C3?3233?3 P{X?1}?3443C3?1?3 P{X?3}?434故某杯中有球个数X的概率分布列为
C32?332?3 P{X?2}?344
解法二：设
X 0 1 2 3 pk 27/64 27/64 9/64 1/64 X表示“某杯中有球个数”，则
的分布律为
X服从
n?3，p?1/4的二项分布，即
X~B(3,1/4)，所以X P{X13?k}?C3k()k()3?k(k?0,1,2,3)
44或表示为 X 0 1 2 3
pk 27/64 27/64 9/64 1/64 p，生产过程中出现废品时立即调整。求在两次调整之
6．自动生产线在调整以后出现废品的概率为间生产的合格品的分布律。
解：设X表示在两次调整之间生产的合格品的个数，由题意知X的可能取值为0，1，2，3，?，而
P{X
?0}?p
12
P{X P{X ?? P{X ??
?1}?p(1?p)
?2}?p(1?p)2
?k}?p(1?p)k
所以X的分布律为
X 0 1 2 ?? k ??
pk p p(1?p) p(1?p)2 ?? p(1?p)k ??
7．一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示的时间相等。以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数，求X的概率分布和分布函数。 解：由题意知
X的一切可能取值为0，1，2，3。为计算方便设：
个路口遇到红灯”，则
表示：“汽车在第iAi?1,2,3)i(AAA1，2，3相互独
1PA(i)?PA(i)?(i?1,2,3)。所以
21111{?0}?PA(1)?；P{X?1}?P(AAP)?()AP(A)??? PX； 121222241111{X?2}?P(AAA)?P(A)P(A)P(A)???? P 12312322281111{X?3}?P(AAA)?P(A)P(A)P(A)???? P 1231232228即X的概率分布列为 X 0 1 2 3 pk 1/2 1/4 1/8 1/8 立，且由条件知
X的分布函数为
?0，x?0?1/2，0?x?1?? F(x)?P{X?x}??3/4，1?x?2
?7/8,2?x?3??3?x?1, 8． 设随机变量X的分布函数为
?0,?2 F(x)??Ax,?1,? （3）随机变量X的概率密度。
x?00?x?1 1?x求：（1）系数A；（2）随机变量X落在区间（0.3，0.7）内的概率；
分析：本题是已知随机变量的分布函数，由分布函数的性质可求出系数A；再由概率密度函数性质可求得（2）及（3）。
解：（1）由分布函数的连续性性质得
A?1，故分布函数为
13
?0,?2 F(x)??x,?1,? P{0.3?x?00?x?1 1?x （2）由概率密度函数性质知，X落在区间（0.3，0.7）内的概率为
X?0.7}?F(0.7)?F(0.3)?(0.7)2?(0.3)2?0.4
（3）由概率密度函数性质知，所求概率密度为
?2x,0?x?1f(x)??
其它?0,?A，x?1?2f(x)??1?x
?其它?0，落在区间(?9．设随机变量X的概率密度为
求：（1）系数
A；（2）X11，)内的概率；（3）X22的分布函数。
分析：连续型随机变量X的概率密度必须满足归一性，因此由归一性及定义可求出系数布函数，至于（2）可由X的分布函数求得。 解：（1）由归一性，
1??f(x)dx??????1A及X的分
A1?x2?1dx?Aarcsinx|1?1?A?
解得
A?1/?。
（3）由连续型随机变量的定义知X的分布函数为 Fx()? 当x f(ud)u???x??1时，Fx=0； ()??f(ud)u??x?1时，
xxx 当?1? F(x) 当x??f(x)dx????1/?1?x2?1dx?1?xarcsinx|?1?1arcsinx? 2??1时，F(x)?1，
故X的分布函数为
0，x??1??1arcsinx，?1?x?1 F(x)???2??1，x?1，? （2）所求概率为 P{?11111?X?}?F()?F(?)? 22223 10． 设随机变量
X的分布函数为
14
?1?e?x，x?0 F(x)??
x?0?0，求：（1）P{X?2}，P{X?3}；（2）X的概率密度。
解：（1）P{X P{X（2）随机变量
?2}?F(2)?1?e?2 ?3}?1?F(3)?e?3
X的概率密度为
?e?x，x?0 f(x)??x?0?0，X的分布密度
?x，0?x?1?f(x)??2?x，1?x?2，
?0，其它? 11． 设随机变量
求分布函数F(x)。
(x)? 解：当x?0时，F?x??f(xd)x?0；
()x? 当0时，F?x?1x12f()xdx?xdx?x； ????02x(x)?f(x)dx?xdx??(2x)dxx?2?x?1 当1时，F； ?x?2??01?x??211x122(x)?f(x)dx?xdx??(2x)dx?01dx? 当x?时，F 。 2??02?x??x?00?x?11?x故随机变量
X的分布函数为
?0，?12x，??2 F(x)??1?2x?x2?1，2??1，?时间不超过3分钟的概率。
解：设
1?x?2x?212．公共汽车站每隔5分钟有一辆客车通过，乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的。求乘客侯车
X表示乘客侯车时间，则X~U(0,5)，乘客侯车时间不超过3分钟的概率为
?3}??30 P{X13dx? 55补充1（修订版11）．某城市每天耗电量不超过一百万千瓦小时，
13．设随机变量X~N(10,22)，求P{10?X?13}；P{X?13}；P{|X?10|?2}；
15