?1dx?1?y，0?y?1??y???1fY(y)=?f(x,y)dx???dx?1?y，?1?y?0
???y?0，其它??y?1时
由（2-17）式，0?
?1，y?x?1?fX|Y(x|y)??1?y
?其它?0，?1?y?0时，
?1，?y?x?1?fX|Y(x|y)??1?y
?其它?0， （2）X，Y不独立，因为
f(x,y)?fX(x)fY(y)。
?x?b，c?y?d内服从均匀分布。求（
23．随机向量（X，Y）在矩形区域a分布密度及边缘分布密度，并判断
解：由题意知（
X，Y）的
X，Y是否独立。
X，Y）的分布密度为
1?,a?x?b,c?y?d?f(x,y)??(b?a)(d?c)
?0,其它?????当a?x?b， fX(x)??f(x,y)dy?1 ，其它均为0，故（X，Y）关于Xb?a的边缘分布
密度为
?1?,a?x?bfX(x)??b?a
?其它?0,的边缘分布密度为
同理得（
X，Y）关于Y
?1?,c?y?dfY(y)??d?c
?其它?0,又由于
f(x,y)?fX(x)fY(y)，所以X，Y独立。
X，Y独立的结论知，当a补充2（修订版23）．在习题22中，求X及Y的条件分布密度。 解：由上题
?x?b时，有
21
?1?,c?y?dfY|X(y|x)?fY(y)??d?c
?其它?0,时，有
当c?y?d
?1?,a?x?bfX|Y(x|y)?fX(x)??b?a
?其它?0, 24．设X~N(?,?2)，求Y??P{Y?y}?P{X???X??的分布密度。
解：FY(y)?1?y}?P{X?y???}?FX(y???)
fY(y)?fX(y???)??12?e2??1?y22e?12?2(y?????)2??
?25．设X的概率分布为
???y???
X -2 -1 1 2 P 3/10 1/10 1/5 2/5 求；（1）Y3?X2?2的概率分布；（2）Y?X?1的概率分布。
?X2?2的概率分布为 Y 3 6 P 3/10 7/10 解：（1）Y?X3?1的概率分布为
Y -7 0 2 9 P 3/10 1/10 1/5 2/5 （2）Y26．设XX~N(0,1)，求：（1）Y?e的分布密度；（2）Y?|X|的分布密度。
解：（1）由Y
?eX，即y?ex解得x?lny，x?y?1/y，故，当y?0时
fY(y)?12?e1?(lny)22?1y
当
y?0时，fY(y)?0，所以Y?eX的分布密度为
?1?(lny)2/2e，y?0?fY(y)??2?y
?0，y?0?y?0时，FY(y)?0，当y?0时
y?y（2）由分布函数定义，当 FY(y)所以Y?P{Y?y}?P{X?y}?P{?y?X?y}??f(x)dx
?|X|的分布密度为
22
?2?y2/2?2f(y)，y?0?e，y?0???fY(y)?FY?(y)??
?0，y?0?0，y?0?27. 设随机变量X的概率密度为
??1/33x2,若x?[1,8], f(x)??其他;??0,F(x)是X的分布函数。求随机变量Y?F(X)的分布函数。
分析:先求出分布函数F(x)的具体形式，从而可确定Y可。注意应先确定Y解: 易见，当x?F(X) ,然后按定义求Y的分布函数即
?F(X)的值域范围(0?F(X)?1)，再对y分段讨论. ?1时，F(x)?0； 当x?8时，F(x)?1。
对于x?(1,8]，有 F(x)??x133t21dt?3x?1。
设G(y)是随机变量Y 对于
G(y)=0；G(y)=1. ?F(X)的分布函数. 显然，当y?0时，当y?1时，
y?(0,1]，有
?P{Y?y}?P{F(X)?y}
3 G(y) =P{X?1?y}?P{X?(y?1)3}
3 =F[(y?1)于是，Y]?y。
?F(X)的分布函数为
?0,若y?0,? G(y)??y,若0?y?1,
?1,若y?1.?注：事实上，本题X为任意连续型随机变量均可，此时Y当
?F(X)仍服从均匀分布:
y?0时，G(y)=0; y?1时，G(y)=1;
当
当 0?y?1时，G(y)?P{Y?y}?P{F(X)?y}
=P{X =F(F?F?1(y)}
?1(y))?y。
相互独立，设随机变量
28．已知随机变量
且X与YXN~(?1，1)，YN~(3，1)的概率分布。
Z?X??27Y，求Z 解：本题考查有关正态分布的性质，由正态分布的性质“若
2~N(??,1)X与Y相互独立，且X，125)”Y~N(?,?)，则Z?aX?bY仍服从正态分布，即X?2Y~N(?7，，再由正态随机变量22的线性函数也服从正态分布，即Z~N(a??b,(a?)2)?N(0,5)，故
23
z2 ???z???)f(z)?exp{?} (1010?129．设
X与Y相互独立，都服从[0，2]上的均匀分布，求P{X?Y}。
X、Y的分布密度分别为
分析：由条件知
?1?1?，0?x?2?，0?y?2， f(y)??2， f(x)??2??其它其它?0，?0，X与Y的联合概率分布为 y 从而由独立性得
1??，0?x?2，0?y?2 f(xy,)??4?0，其它?所以由概率分布的性质 o x
1。 P{X?Y}?P{X?Y??0}?fx(,)ydxdy??2x?y?030．设
X和Y相互独立，下表列出了二维随机变量(X，Y)联合分布律及关于X和关于Y的边
缘分布律的部分值，试将其余数值填入表中的空白处。
X Yx1 y1 1/8 1/6 y2 1/8 y3 P{X?xi}?pi? 1 x2 P{Y?yj}?p?j 解：由联合分布律与边缘分布律的关系知
p11?111；由X和Y相互独立性知??6824p11?P{X?x1}P{Y?y1}?p1??表：
11，即p1??1/4；同理，依此得表中空白处的其它数值见下?624X Yx1 x2 y1 1/24 1/8 1/6 y2 1/8 3/8 1/2 y3 1/12 1/4 1/3 P{X?xi}?pi? 1/4 3/4 1 P{Y?yj}?p?j
31．设X，Y相互独立，其密度函数分别为
24
??xe?x,x?0?ye?y ,y?0X(x)?? ??0,x?0Y(y)???0,y?0
求Z?X?Y的概率密度。
解：当z?0时，
??z
f(z)?????X(x)?Y(z?x)dx??0(xze?z?x2e?z)dx
?12z3e?z?13?z13?z3ze?6ze(z?0)
当z?0时，f(z)?0，所以
?1?
f(z)???ezz3，z?0Z?6
?0，z?0或： F(z)?X????(x,y)dxdy?Y?z?zz?x?xy0?0xeye?dxdy
??16e?zz3?12z2e?z?ze?z?e?z?1 所以
?f)??1?e?zz3，z?0
Z(z?6
?0，z?0 32. 设（X，Y）的分布密度为
f(x,y)???Ae?(x?2y),x?0，y?0 ?0,其他求：（1）关于X，Y的边缘分布密度，并判断X，Y是否独立；
（2）Z?X?2Y的概率分布。
分析：由于（X，Y）的分布密度中包含待定常数，故应首先将其确定。
解：由归一性, ?? 1????????x??????f(x，y)dxdy?A?edx?0e?2y0dy?A/2
解得
A?2。
f??dy?2???（1）
X(x)????f(x,y)e?x?e?2ydy?2e?x?102?e?x所以关于X的边缘分布密度为
f)???e?x,x?0X(x ?0,x?0同理得关于Y的边缘分布密度为
25
(x?0)