数学题_数学网 http://www.qzwh.com
12. （2009安徽省5分）如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是 ▲ 。（把所有正确答案的序号都填写在横线上）
①∠BAD=∠ACD；②∠BAD=∠CAD；③AB+BD=AC+CD；④AB－BD=AC－CD． 【答案】②③④。
【考点】等腰三角形的判定和性质，勾股定理。 【分析】①当∠BAD=∠ACD时，得不到AB=AC。
②当∠BAD=∠CAD时，AD是∠BAC的平分线，且AD是BC边上的高， ∴△BAC是等腰三角形（等腰三角形三线合一）。
③延长DB至E，使BE=AB；延长DC至F，使CF=AC，连接AE、AF。 ∵AB+BD=CD+AC，∴DE=DF。 又AD⊥BC；∴△AEF是等腰三角形。 ∴∠E=∠F。
∵AB=BE，∴∠ABC=2∠E。 同理，得∠ACB=2∠F
∴∠ABC=∠ACB。∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形。 ④△ABC中，AD⊥BC，根据勾股定理，得：AB﹣BD=AC﹣CD， 即（AB+BD）（AB﹣BD）=（AC+CD）（AC﹣CD）。 ∵AB﹣BD=AC﹣CD，∴AB+BD=AC+CD。
∴两式相加得，2AB=2AC， ∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形。 故能推出△ABC是等腰三角形的是②③④。
13. （2011安徽省5分）定义运算a?b＝a(1－b)，下面给出了关于这种运算的四个结论：
①2?(－2)＝6 ②a?b＝b?a
③若a＋b＝0，则(a?a)＋(b?b)＝2ab ④若a?b＝0，则a＝0． 其中正确结论的序号是 ▲ (填上你认为所有正确结论的序号)． 【答案】①③。 【考点】代数式代换。
数学题_数学网 www.qzwh.com 课件、教案、试卷，全免费下载
- 16 -
2
2
2
2
数学题_数学网 http://www.qzwh.com
【分析】①2? (－2)＝2[1－(－2)]＝6，结论正确； ②a?b＝a(1－b)＝a－ab，b?a＝b(1－a)＝b－ab，∴a?b与b?a不一定相等，结论错误； ③∵a＋b＝0，∴(a?a)＋(b?b)＝a(1－a)＋b(1－b)＝a＋b＋2ab＝2ab，结论正确； ④∵a?b＝0，∴a(1－b)＝0，则a＝0或b＝1。结论错误。因此，正确结论的序号是①③。
14. （2012安徽省5分）如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论： ①S1+S2=S3+S4 ② S2+S4= S1+ S3
③若S3=2 S1，则S4=2 S2 ④若S1= S2，则P点在矩形的对角线上
其中正确的结论的序号是 ▲ （把所有正确结论的序号都填在横线上）. 【答案】②④。
【考点】矩形的性质，相似
【分析】如图，过点P分别作四个三角形的高，
∵△APD以AD为底边，△PBC以BC为底边， ∴此时两三角形的高的和为AB，
1S矩形ABCD； 21同理可得出S2+S4=S矩形ABCD。
2∴S1+S3=
∴②S2+S4= S1+ S3正确，则①S1+S2=S3+S4错误。
若S3=2 S1，只能得出△APD与△PBC高度之比，S4不一定等于2S2；故结论③错误。 如图，若S1=S2，则
11×PF×AD=×PE×AB， 22∴△APD与△PBA高度之比为：PF：PE =AB：AD 。 ∵∠DAE=∠PEA=∠PFA=90°，∴四边形AEPF是矩形， ∴矩形AEPF∽矩形ABCD。连接AC。 ∴PF：CD =PE ：BC=AP：AC， 即PF：CD =AF ：AD=AP：AC。
数学题_数学网 www.qzwh.com 课件、教案、试卷，全免费下载
- 17 -
数学题_数学网 http://www.qzwh.com
∴△APF∽△ACD。∴∠PAF=∠CAD。∴点A、P、C共线。∴P点在矩形的对角线上。 故结论④正确。
综上所述，结论②和④正确。
三、解答题
1. （2001安徽省12分）如图1，AB、CD是两条线段，M是AB的中点，S△DMC、S△DAC、S△DBC分别表示△DMC、△DAC、△DBC的面积．当AB∥CD时，则有S?DMC?S?DAC?S?DBC．
2（1）如图2，M是AB的中点，AB与CD不平行时，作AE、MN、BF分别垂直DC于E、N、F三个点，问结论①是否仍然成立？请说明理由．
（2）若图3中，AB与CD相交于点O时，问S△DMC、S△DAC和S△DBC三者之间存在何种相等关系？试证明你的结论．
【答案】解：（1）当AB和CD不平行时，结论①仍然成立。理由如下：
如图，由已知，可得AE、BF和MN两两平行，∴四边形AEFB是梯形。 ∵M为AB的中点，∴MN是梯形AEFB的中位线。∴MN=∴
1（AE+BF）。 21111S?DAC?S?DBC?DC?AE+DC?BF=?DC?AE+BF?=DC?2MN?2S?DMC。
2222S?S?DBC∴S?DMC??DAC。
2S?S?DAC（2）S?DMC??DBC。证明如下：
2∵M为AB的中点，∴S△ADM=S△BDM，S△ACM=S△BCM。 ∴
S?DMC?S?MOD?S?MOC?（S?AMD?S?AOD）（?S?AMC?S?AOC）（?S?BDM?S?BCM）（?S?AOD?S?AOC）（S?DBC?S?DMC）?S?DAC。 ?数学题_数学网 www.qzwh.com 课件、教案、试卷，全免费下载 - 18 -
数学题_数学网 http://www.qzwh.com
∴2S?DMC?S?DBC?S?DAC，即S?DMC?【考点】梯形中位线定理。
S?DBC?S?DAC。
2【分析】（1）过A，M，B分别作BC的垂线AE，MN，BF，AE∥MN∥BF，由于M是AB中点，因此MN是梯形AEFB的中位线，因此MN=立的。
（2）利用AM=MB，让这两条边作底边来求解，△ADB中，小三角形的AB边上的高都相等，那么△ADM和DBM的面积就相等（等底同高），因此△OAD，OMD的和就等于△BMD的面积，同理△AOC和OMC的面积和等于△CMB的面积．根据这些等量关系即可得出题中三个三角形的面积关系。
2. （2001安徽省12分）某工厂生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销量为100万件，为了获得更好的效益，厂家准备拿出一定的资金做广告；根据统计，每年投入的广告费是x（十万元），产品的年销量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如表：
x（十万元） y （1）求y与x的函数关系式；
（2）如果把利润看成销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元）的函数关系式；
（3）如果投入的年广告费为10万元～30万元，问广告费在什么范围内，工厂获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】解：（1）设y与x的函数关系式为y=ax2+bx+c，由题意得：
0 1 1 1.5 2 1.8 1（AE+BF），三个三角形同底，因此结论①是成2?c=1?a=?0.1?? ?a+b+c=1.5，解得?b=0.6。
?4a+2b+c=1.8?c=1?? ∴y与x的函数关系式为y=?0.1x2+0.6x+1。
（2）∵利润=销售总额－（成本费＋广告费），
∴S═?3?100y?2?100y??10?x??10x2?5x?10。
数学题_数学网 www.qzwh.com 课件、教案、试卷，全免费下载 - 19 -
数学题_数学网 http://www.qzwh.com
（3）S??10x2?5x?10??10?x?2.5??16.25， ∵－10＜0， ∴当x=2.5时，函数有最大值16.25。 ∵2.5万元在10万元～30万元内，
∴当广告费为2.5万元时利润最大，最大利润为162.5万元。
【考点】二次函数的应用，待定系数法，曲线上点的坐标与二次函数的关系，二次函数的最值。
【分析】（1）根据表中数据，应用待定系数法可求出y与x的二次函数关系式。
（2）根据利润=销售总额－（成本费＋广告费），可得年利润S（十万元）与广告
费x（十万元）的函数关系式。
（3）根据解析式求最值即可。
3. （2002安徽省12分）心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满足函数关系：y＝－0.1x＋2.6x＋43 （0≤x≤30）．y值越大，表示接受能力越强．
（1）x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？
（2）第10分时，学生的接受能力是多少？ （3）第几分时，学生的接受能力最强？
【答案】解：（1）y＝－0.1x＋2.6x＋43＝－0.1（x－13）＋59.9。 ∵函数的a=－10＜0，对称轴为x=13，
∴当0≤x≤13时，学生的接受能力逐步增强；
当13≤x≤30时，学生的接受能力逐步下降。 （2）∵当x＝10时，y＝－0.1（10－13）＋59.9＝59， ∴第10分时，学生的接受能力为59。
（3）∵x＝13，y取得最大值，∴在第13分时，学生的接受能力最强。 【考点】二次函数的应用。
【分析】（1）根据函数关系式求对称轴方程、顶点坐标，结合草图回答问题。
（2）求x=10时y的值。 （3）求函数的最大值。
2
2
2
2
2数学题_数学网 www.qzwh.com 课件、教案、试卷，全免费下载 - 20 -