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4. （2002安徽省12分）某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，进行如下讨论：甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形；乙同学：我发现边数是6时，它也不一定是正多边形，如图一，△ABC是正三角形，AD?BE?CF，可以证明六边形ADBECF的各内角相等，但它未必是正六边形；丙同学：我能证明，边数是5时，它是正多边形，我想，边数是7时，它可能也是正多边形．?? （1）请你说明乙同学构造的六边形各内角相等．
（2）请你证明，各内角都相等的圆内接七边形ABCDEFG（如图二）是正七边形（不必写已知、求证）．
（3）根据以上探索过程，提出你的猜想（不必证明）．
【答案】解：（1）由图知∠AFC对ABC。
∵AD?CF，∴∠DAF对的DEF?DBC+CF?AD+DBC?ABC。
∴∠AFC＝∠DAF。
同理可证，其余各角都等于∠AFC。 ∴图1中六边形各内角相等。
（2）∵∠A对BEC，∠B对CEA，∠A＝∠B， ∴BEC＝CEA。∴BC?AG。
同理AB?BC?CD?DE?EF?FG?GA。 ∴AB=BC=CD=DE=EF=FG=GA。 ∴七边形ABCDEFG是正七边形。
（3）猜想：当边数是奇数时，各内角相等的圆内接多边形是正多边形。 【考点】正多边形和圆，圆周角、弦、弧的关系。 【分析】（1）根据同圆中等弧对等圆周角证明。
（2）要证明一个圆内接多边形是正多边形，只要证明多边形的顶点是圆的等分点即可。
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（3）类（2）可推出：当边数是奇数时，各内角相等的圆内接多边形是正多边形。 5. （2003安徽省12分）某风景区对5个旅游景点的门票价格进行了调整，据统计，调价前后各景点的游客人数基本不变。有关数据如下表所示：
景点 原价（元） 现价（元） 平均日人数（千人） A 10 5 1 B 10 5 1 C 15 15 2 D 20 25 3 E 25 30 2 （1）该风景区称调整前后这5个景点门票的平均收费不变，平均日总收入持平。问风景区是怎样计算的？
（2）另一方面，游客认为调整收费后风景区的平均日总收入相对于调价前，实际上增加了约9.4%。问游客是怎样计算的？
（3）你认为风景区和游客哪一个的说法较能反映整体实际？
6.（2003安徽省14分）如图，这些等腰三角形与正三角形的形状有差异，我们把这与正三角形的接近程度称为“正度”。在研究“正度”时，应保证相似三角形的“正度”相等。
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设等腰三角形的底和腰分别为a，b，底角和顶角分别为α，β。要求“正度”的值是非负数。
同学甲认为：可用式子|a－b|来表示“正度”，|a－b|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形；
同学乙认为：可用式子|α－β|来表示“正度”，|α－β|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形。
探究：（1）他们的方案哪个较合理，为什么？
（2）对你认为不够合理的方案，请加以改进（给出式子即可）； （3）请再给出一种衡量“正度”的表达式。 【答案】解：（1）同学乙的方案较为合理。理由如下：
∵|α－β|的值越小，α与β越接近60°，
∴该等腰三角形越接近于正三角形，且能保证相似三角形的“正度”相
等。
同学甲的方案不合理，不能保证相似三角形的“正度”相等。
如：边长为4，4，2和边长为8，8，4的两个等腰三角形相似，但|2－4|=2≠|4
－8|=4。
（2）对同学甲的方案可改为用
a?bka， a?bkb（k为正数）等来表示“正度”。
122（3）还可用??60?， ??60?， ????120?， ????60???2???60???等
3??来表示“正度”。
【考点】新定义，开放型，相似三角形的应用。
【分析】将甲乙两同学的推测进行推理，若代入特殊值不成立，则推理不成立。 7. （2004安徽省12分）正方形通过剪切可以拼成三角形．方法如下：
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仿上用图示的方法，解答下列问题： 操作设计：
(1)如下图，对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形．
(2)如下图，对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块．再拼成一个与原三角形等面积的矩形．
【答案】解：（1）作图如下：
（2）作图如下：
【考点】作图（应用与设计作图）。
【分析】（1）矩形的四个角都是直角．图中已有一直角，那么这个直角就是矩形的一个直角．作出平行于一直角边的中位线，可得到另一直角．按中位线剪切即可得到矩形。
（2）根据（1）的思路，应先作出平行于一边的中位线，得到两组相等的线段，进
而把上边的三角形分割为含90°的两个直角三角形即可。
8. （2004安徽省12分）某企业投资100万元引进一条农产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利33万元．该生产线投产后，从第1年到第x年的维修、保养费用累计为y(万元)，且y=ax+bx，若第1年的维修、保养费为2万元，第2年的为4
2
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万元．
(1)求y的解析式；
(2)投产后，这个企业在第几年就能收回投资?
【答案】解：（1）由题意，x=1时，y=2；x=2时，y=2＋4=6。
?a?b?2?a?12
分别代入y=ax+bx得?，解得，?。
?4a?2b?6?b?1∴y的解析式为：y=x+x。
2（x?16）?156。 （2）设h=33x－100－y，即h??x2?32x?100??2
∵当1≤x≤16时，y随x的增大而增大，
2（3?16）?156=－13＜0， ∴当x=3时，h??2（4?16）?156=12＞0。 当x=4时，h??∴第4年可收回投资。
【考点】二次函数的应用。
【分析】（1）根据条件解方程组易得解析式。
（2）收回投资即纯利润=投资（包括购设备、维修、保养）。
9. （2005安徽省大纲12分）一列火车自A城驶往B城，沿途有n个车站（包括起点站A和终点站B），该列火车挂有一节邮政车厢，运行时需要在每个车站停靠，每停靠一站不仅要卸下已经通过的各车站发给该站的邮包一个，还要装上该站发往下面行程中每个车站的邮包一个．
例如，当列车停靠在第x个车站时，邮政车厢上需要卸下已经通过的（x﹣1）个车站发给该站的邮包共（x﹣1）个，还要装上下面行程中要停靠的（n﹣x）个车站的邮包共（n﹣x）个． （1）根据题意，完成下表： 车站序号 1 2 3 4 5 在第x个车站起程时邮政车厢邮包总数 n﹣1 （n﹣1）﹣1+（n﹣2）=2（n﹣2） 2（n﹣2）﹣2+（n﹣3）=3（n﹣3） 数学题_数学网 www.qzwh.com 课件、教案、试卷，全免费下载 - 25 -