提升数学思想 - 图文(2)

1．函数与方程的思想： 考试中心对考试大纲的说明中指出：?高考把函数与方程的思想作为七种思想方法的重点来考查，使用选择题和填空题考查函数与方程思想的基本运算，而在解答题中，则从更深的层次，在知识的网络的交汇处，从思想方法与相关能力相综合的角度进行深入考查。? 什么是函数和方程思想？简单地说，就是学会用函数和变量来思考，学会转化已知与未知的关系,对函数和方程思想的考查,主要是考查能不能用函数和方程思想指导解题,在用函数和方程思想指导解题时要经常思考下面一些问题: －是否需要把一个代数式看成一个函数? －是否需要把字母看作变量？ －如果把一个代数式看成了函数，把一个或几个字母看成了变量，那么这个函数有什么性质？ －如果一个问题从表面上看不是一个函数问题，能否构造一个函数来帮助解题？ －是否需要把一个等式看作为一个含未知数的方程？ －如果是一个方程，那么这个方程的根（例如根的虚实，正负，范围等）有什么要求？ 1.把字母看作变量或把代数式看作函数. 【例1】已知两条曲线： 22xy222椭圆C1:??1和圆C2:x??y?1??r?r?0?,若两条曲94线没有公共点,求r的取值范围. 【分析及解】一般的解法是:从C1和C2的方程中消去一个未知数,比如消去x,得到一个关于y的方程 522?y?2y?10?r?0, ① 4因为两条曲线没有公共点,所以方程①没有实数根,即判别式小于零,即 ??4?4???5???1?0r2?4??? 0,解得 r?545或r??545(由r?0,r??545舍去). 这就是说, 若两条曲线没有公共点, r的取值范围为r?545. 这个结果是否正确呢?我们可以画一个图来观察,如图,以?0,?1?为圆心,0?r?1为半径的圆C2与椭圆C1没有公共点,但是0?r?1这一结果在上面的计算中,并没有出现,显然,这种解法出了毛病! 我们换一个思路:由方程①变形为 522r??y?2y?10. 4522把r??y?2y?10看作y的函数,由椭圆C1可知,?2?y?2,4因此,求使圆C2与椭圆C1有公共点的r的集合,等价于在定义域为y???2,2?的情况下,求函数 52r?f?y???y?2y?10 42值域. ?4?54由f??2??1,f?2??9,f???,可得f?y?的值域是?5?5?54??54?2r??1,?,即r??1,?,它的补集就是圆C2与椭圆C1没有公共5??5??点的r的集合,因此, 两条曲线没有公共点的r的取值范围是540?r?1或r?. 5【例2】 （Ⅰ）若关于x的不等式x?1?x?1?m对所有x?R都成立,求m的取值范围. （Ⅱ）若关于x的不等式x?1?x?1?m有解, 求m的取值范围. 【分析及解】把式子x?1?x?1看作函数. 设f?x??x?1?x?1,则 ??2x,?f?x???2,?2x,?x??1,?1?x?1, x?1.（Ⅰ）若关于x的不等式x?1?x?1?m对所有x?R都成立,则fmin?x??m,又fmin?x??2,则m?2. （Ⅱ）若关于x的不等式x?1?x?1?m有解,则fmin?x??m,即m?2.