提升数学思想 - 图文(7)

【例1】 (2006年,全国卷Ⅰ,理) 设集合I??1,2,3,4,5?。选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有( ). (A)50种 (B)49种 (C) 48种 (D)47种 【分析及解】从 “B中最小的数”入手，显然有四种情形： ① B中最小的数为2.此时A仅有1中选法,即A??1?,而B可以有8中选法,即3,4,5三个元素可以在B中,也可以不在B中. ② B中最小的数为3,此时A有3种选法,即A??1?,?2?,?1,2?,而B有4种选法,即4,5两个元素可以在B中,也可以不在B中. ③ B中最小的数为4, 此时A有7种选法,即A为?1,2,3?的非空子集,而B有2种选法,即5可以在B中,也可以不在B中. ④ B中最小的数为5, 此时A有15种选法,即A为?1,2,3,4?的非空子集,而B仅有1种选法,即5在B中. 由以上, 不同的选择方法共有1?8?3?4?7?2?15?1?49种. 【例2】(2005年，福建卷,理) 从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ ） (A) 300种 (B) 240种 (C) 144种 (D) 96种 【分析及解】 本题的关键问题是甲、乙两人不去巴黎游览这一要求,因此,就要针对甲,乙是否被挑选上,甲,乙去何处游览进行研究. 对甲,乙是否被挑选上可分为4类. 222(1) 有甲有乙：这时有C4A3A2?72种； (2) 有甲无乙：这时有CAA?72种； (3) 无甲有乙：这时有CAA?72种； (4) 无甲无乙：这时有A?24种 由以上，不同的选择方案共有3?72?24?240种，因此选（B）. 34441333341333【例3】 (2006年,辽宁卷,理)已知函数 11f(x)?(sinx?cosx)?sinx?cosx,则f(x)的值域是 22???2?2?2?(A)??1,1? (B) ??,1? (C) ??1,? (D) ??1,?? 2?2????2?【分析及解】本题给出的函数是一个含有绝对值符号的函数,就要对sinx?cosx进行分类,写成分段函数 ?cosx(sinx?cosx)11f(x)?(sinx?cosx)?sinx?cosx?? 22?sinx(sinx?cosx)?5?当sinx?cosx,即2k???x?2k???k?Z?时, 44?2?f?x??cosx,f?x?? ??1,?, 2??3???x?2k???k?Z?时, 当sinx?cosx,即2k??44?2?f?x??sinx,f?x?? ??1,?.故选(C). 2??【例4】(2005年，浙江卷，文) 已知函数f?x?和g?x?的图象关于原点对称,且f?x??x2?2x. （Ⅰ）求函数g?x?的解析式; （Ⅱ）解不等式g?x??f?x??x?1; （Ⅲ）若h?x??g?x???f?x??1在??1,1?上是增函数,求实数?的取值范围. 【分析及解】（Ⅰ）是用函数图象的对称求解函数的问题.容易求出g?x???x2?2x. （Ⅱ）由于涉及到含有绝对值符号,所以要用分类讨论思想求解. 2不等式g?x??f?x??x?1 化为 2x?x?1?0. 需要对x?1和x?1分类: 2x?1当时, 不等式为 2x?x?1?0,此不等式无解; 1当x?1时, 不等式为 2x?x?1?0, 解得?1?x?. 21??于是解集为??1,?. 2??（Ⅲ）h?x????1???x2?2?1???x?1, 为求实数?的取值范围,就要对?的取值分类. (1) 当???1时, h?x??4x?1,此时h?x?在??1,1?上是增函数, 1??(2) 当???1时,对称轴方程为 x?. 1??1????1,解得???1; ① 当???1时,需满足1??1???1,解得?1???0. ② 当???1时, 1??综合(1),(2),??0. 2