提升数学思想 - 图文(4)

【分析及解】(Ⅰ)由于x1,x2是方程f?x??x?0的两个实根,所以可以从整体上考虑f?x??x,为此,构造函数F?x??f?x??x,设F?x??f?x??x?a?x?x1??x?x2?. 要证明x?f?x??x1,就需要证明F?x??f?x??x?0,以及x1?f?x??x1?x?F?x??0. 1因为0?x1?x2?,则a?0,x?x1?0,x?x2?0, a因此f?x??x?a?x?x1??x?x2??0,即x?f?x?, 又x1?f?x??x1?x?F?x???x1?x??a?x?x1??x?x2? ??x?x1??1?ax?ax2?, 1 由x2?得1?ax2?0,又有x1?x?0,于是, x1?f?x??0,a即f?x??x1,所以, x?f?x??x1. x1(Ⅱ) 要证明x0?,仍需要用函数和方程思想来解决,这是因2为变量x0和x涉及到函数f?x?和F?x?及方程f?x??x?0. b由x?x0是函数f?x?的图象的对称轴,则x0??, 2a由x1,x2是方程f?x??x?0的两个实根,及 F?x??f?x??x?ax??b?1?x?c?0, 1?b则有 x1?x2?, abax1?ax2?1x1ax2?1x1???. 于是, x0???2a2a22a22【例2】（2001年，全国卷） 已知i,m,n是正整数，且1＜i≤m＜n． ii(Ⅰ) 证明 niAm＜miAn； (Ⅱ) 证明 (1?m)n＞(1?n)m． 【分析及解】重点研究第(Ⅱ)问. nm?1?m???1?n??nln?1?m??mln?1?n? ln?1?m?ln?1?n???. mnln?1?x?(x?2), 构造函数g?x??xln?1?x?只要证明g?x??为减函数就可以了. xx?1?ln?1?x???ln?1?x??0, 由 g??x??2x?1?x?ln?1?x?则g?x??为减函数,由2?m ?n可得g?m??g?n?. xln?1?m?ln?1?n?nm? 因而 , 于是, (1?m)＞(1?n)成立. mn【例3】已知实数a,b分别满足a?3a?5a?1,b?3b?5b?5 求a?b的值. 【分析及解】已知的等式都是三次方程,直接通过方程解出a,b有 一定的困难,但是,题设的两个等式的左边的结构相同,使我们想到用 统一的式子来表示这两个等式,对题设的两个等式变形为 33?a?1??2?a?1???2,?b?1??2?b?1??2, 根据这两个等式的特征,构造函数f?x??x?2x. 33232函数f?x?是一个奇函数,又是R上的增函数,则有 2,f?b? f?a?1????1? 2,于是, f?a?1???f?b?1??f?1?b?,因而得 a?1?1?b.a?b?2. 【例4】（2006年湖南卷，理）已知函数f(x)?x?sinx, 数列{an}满足:0?a1?1,an?1?f(an),n?1,2,3,?. 13证明: （I）0?an?1?an?1; （II）an?1?an. 6【分析及解】（I）先用数学归纳法证明0?an?1，n?1,2,3,?， 又因为0?an?1时，an?1?an?an?sinan?an??sinan?0， 所以an?1?an，综上所述0?an?1?an?1． 13（II）构造函数g(x)?sinx?x?x，0?x?1．由（I）知，当60?x?1时，sinx?x，从而 xxx2x2xg(x)?cosx?1???2sin???2()??0. 22222所以g?x?在(0,1)上是增函数. 又g?x?在[0,1]上连续,且'222g?0??0,所以当0?x?1时，g?x??0成立. 1313于是g(an)?0,即sinan?an?an?0．故an?1?an． 66