提升数学思想 - 图文(5)

【例5】（2004年全国卷Ⅱ，理.) 已知函数f?x??ln?1?x??x,g?x??xlnx, （Ⅰ）求函数f?x?的最大值; a?b??（Ⅱ）设0?a?b,证明 0?g?a??g?b??2g????b?a?ln2 ?2? 【分析及解】（Ⅱ）g(x)?xlnx,g?(x)?lnx?1. a?x), 构造函数F(x)?g(a)?g(x)?2g(2a?xa?x)]??lnx?ln. 则 F?(x)?g?(x)?2[g(22当0?x?a时,F?(x)?0, 在此F(x)在(0,a)内为减函数. 当x?a时,F?(x)?0,因此F(x)在(a,??)上为增函数. 从而，当x?a时,F(x)有极小值F(a). 因为 F(a)?0,b?a,所以F(b)?0, a?b). 即 0?g(a)?g(b)?2g(2再构造函数 G(x)?F(x)?(x?a)ln2, a?x?ln2?lnx?ln(a?x). 则 G?(x)?lnx?ln2当x?0时,G?(x)?0. 因此G(x)在(0,??)上为减函数. 因为 G(a)?0,b?a,所以G(b)?0, a?b)?(b?a)ln2. 即 g(a)?g(b)?2g(22. 数形结合的思想： 数形结合思想是一种很重要的数学思想，.把数量关系的研究转化为图形性质的研究，或者把图形性质的研究转化为数量关系的研究，这种解决问题过程中?数?与?形?相互转化的研究策略，就是数形结合的思想。数形结合思想就是要使抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来。 在使用的过程中，由?形?到?数?的转化，往往比较明显，而由?数?到?形?的转化却需要转化的意识，因此，数形结合的思想的使用往往偏重于由?数?到?形?的转化。 考试中心对考试大纲的说明中强调：?在高考中，充分利用选择题和填空题的题型特点，为考查数形结合的思想提供了方便，能突出考查考生将复杂的数量关系转化为直观的几何图形问题来解决的意识，而在解答题中，考虑到推理论证的严密性，对数量关系问题的研究仍突出代数的方法而不提倡使用几何的方法，解答题中对数形结合思想的考查以由‘形’到‘数’的转化为主。? 【例1】（2006年湖南卷，理）若圆x2?y2?4x?4y?10?0上至少有三个不同的点到直线l:ax?by?0的距离为22,则直线l的倾斜角的取值范围是( ). ??????5?????????(A) ?，? (B)?，? (C)?，? (D)?0，? ?124??1212??63??2?22【分析及解】 圆x?y?4x?4y?10?0整理为 ∴圆心坐标为(2，2)，半径为32， (x?2)?(y?2)?(32)，要求圆上至少有三个不同的点到直线l:ax?by?0的距离为22222，则圆心到直线l:ax?by?0的距离应小于等于2， ?a??a?≤2，∴ ???4???1?0， ∴ 22?b??b?a?ba?a?∴ ?2?3?????2?3，k??，∴ 2?3?k?2?3， b?b??5???直线l的倾斜角的取值范围是?，?，选B. ?1212?|2a?2b|2【例2】 (2006年,福建卷,理) ????????????????已知OA=1,OB=3,OA?OB?0,点C在∠AOB内，且????????????m?AOC?30?，设OC?mOA?nOB?m,n?R?)，则等于 n13(A) (B)3 (C) (D) 3 33????【分析及解】设OC?c，如图， ????????????????????OAOBOC?OD?OE?c?cos30???????c?sin30?????? OAOB????????????3????1?c?OA?c?OB?mOA?nOB223 3c3m于是，m?c,n??c,?3. 2236n