提升数学思想 - 图文(3)

【例3】(2005年，江西卷，理) 已知数列{an}各项都是正数,且满足1a0?1,an?1?an(4?an),n?N. 2（Ⅰ）证明an?an?1?2,n?N; （Ⅱ）求数列{an}的通项公式an. 【分析及解】（Ⅰ）解法1. 这是一个以递推公式为背景的数列不等式，但是把递推公式看作一个函数，就可以获得一个很简单的解法。 11把an?1?an(4?an),n?N.看作一个函数f(x)?x(4?x). 22由此启发得 11122ak?1?ak(4?ak)?[4?(ak?2)]???ak?2??2?2. 222 于是 ak?2, 121 又因为ak?1?ak??ak?2ak?ak??ak?ak?2??0, 22所以 ak?1?ak, 由以上有an?an?1?2,n?N; 解法2. 用数学归纳法证明： 131°当n=1时，a0?1,a1?a0(4?a0)?, 22∴0?a0?a1?2； 2°假设n = k时有ak?1?ak?2成立， 1令f(x)?x(4?x)，f(x)在?0,2?上单调递增， 2所以由假设有：f(ak?1)?f(ak)?f(2), 111即ak?1(4?ak?1)?ak(4?ak)??2?(4?2), 222也即当n=k+1时 ak?ak?1?2成立， ?所以对一切n?N,有an?an?1?2. 2.用函数和方程的性质解题. 【例1】(2006年,北京卷,理) ?(3a?1)x?4a,x?1已知f(x)?? 是(??,??)上的减函数，那x?1?logax,么 a 的取值范围是 ( ). ?11??1??1（A）?0,1? （B）?0,? （C）?,? （D）?,1? ?73??3??7【分析及解】本题从表面上看并不困难, 1若f?x??(3a?1)x?4a为减函数,则3a?1?0?a?, 3若f?x??logax为减函数,则0?a?1, ?1?于是, a 的取值范围是?0,? . ?3? 但是,这个结果是错误的,对(B)是误选.为什么呢？解题时，忽略了分段函数的问题. 因为是分段函数,又要求在(??,??)上是减函数,就涉及到分段函数的单调性的规律. 一般地,若函数f?x?在区间?a,b?和?c,d??c?b?上是增函数,在并区间?a,b???c,d?上不一定是增函数,但是,只要增加一个条件f?c??f?b?就可以了,同样, 若函数f?x?在区间?a,b?和?c,d?上是减函数,在并区间?a,b???c,d?上不一定是减函数,但是,只要增加一个条件f?c??f?b?就可以了,因此,本题还就必须满足111(3a?1)?1?4a?f?1??0,即a?,于是?a?,故选C. 7733.构造函数解题. 【例1】(1997年,全国卷) 2设二次函数f?x??ax?bx?c?a?0?,方程f?x??x?0的两个1实根x1,x2，满足0?x1?x2?. a(Ⅰ) 当x??0,x1?时,证明x?f?x??x1; x1(Ⅱ) 设函数f?x?的图象关于直线x?x0对称,证明x0?. 2