高等数学微积分公式大全
一、基本导数公式
四、基本初等函数的n阶导数公式 （1）x??n?n??n! （2）?eax?b??n??an?eax?b
⑴?c???0 ⑵x???x??1 ⑶(3)a??x?n??axlnna
?n??sinx???cosx
⑷?cosx????sinx ⑸?tanx???secx ⑹
2(4)??sin?ax?b????n?????ansin?ax?b?n?? (5)
2???cotx????csc2x
⑺?secx???secx?tanx ⑻
??cos?ax?b????1?(6)???ax?b???ln?ax?b???????ancos?ax?b?n??
2?????1?n?n?an?n!?cscx????cscx?cotx
??⑼?e??ex ⑽?ax??axlna ⑾
x?ax?b?n?1 (7)
?n????1?n?1an??n?1?!?ax?b?n
1?lnx? ??x⑿
五、微分公式与微分运算法则
???1⑴d?c??0 ⑵dx??xdx
??1?log???xlnaxa ⒀
?arcsinx???
⑶d?sinx??cosxdx 1?x21⒁?arccosx????11?x2 ⑷d?cosx???sinxdx ⑸d?tanx??secxdx
2⒂
?arctanx???1???1arccotx ⒃⒄??221?x1?x⑹d?cotx???cscxdx
2?x???1⒅
?x??2?1x⑺d?secx??secx?tanxdx ⑻
d?cscx???cscx?cotxdx
二、导数的四则运算法则
xxxx⑼de?edx ⑽da?alnadx
?u?v???u??v??u??u?v?uv? ???2vv??
?uv???u?v?uv? 1⑾d?lnx??dx
x⑿dloga?????x??三、高阶导数的运算法则 （1）??u?x??v?x????n?11dx ⒀d?arcsinx??dx
2xlna1?x?u?x??n??v?x? （2）⒁darccosx????⒂d?arctanx???n?11?x2dx
??cu?x????n??cu?n??x?
?n?（3）??u?ax?b????anu?n??ax?b? （4）
n?k???u?x??v?x????n?k???cnuk?0n?x?v(k)?x?
1dx ⒃1?x21d?arccotx???dx
1?x2六、微分运算法则
⑴d?u?v??du?dv ⑵
d?cu??cdu
⑶d?uv??vdu?udv ⑷
?1x2?a2dx?lnx?x2?a2?c 九、下列常用凑微分公式 积分型 元公式 换?u?vdu?udv d???2v?v?七、基本积分公式
??f?ax?b?dx?1f?ax?b?d?ax?b? ?au?ax?b x??1⑴?kdx?kx?c ⑵?xdx??c ⑶
?dxx?lnx?c
x⑷
?axdx?alna?c ⑸?exdx?ex?c?cosxdx?sinx?c
⑺
?sinxdx??cosx?c
?1??sec2cos2xdxxdx?tanx?c
⑼?1sin2x??csc2xdx??cotx?c ?11?x2dx?arctanx?c
⑾
?11?x2dx?arcsinx?c
八、补充积分公式
?tanxdx??lncosx?c?cotxdx?lnsinx?c ?secxdx?lnsecx?tanx?c?cscxdx?lncscx?cotx?c
?1a2?x2dx?1aarctanxa?c?1x2?a2dx?1x?a2alnx?a?c ?1a2?x2dx?arcsinxa?c??1?f?x??x??1dx?1??f?x??d?x?? u?x? ?f?lnx??1xdx??f?lnx?d?lnx? u?lnx ⑹?f?ex??exdx??f?ex?d?ex? u?ex ?f?ax??axdx?1lna?f?ax?d?ax? u?ax ⑻
?f?sinx??cosxdx??f?sinx?d?sinx? u?sinx ?f?cosx??sinxdx???f?cosx?d?cosx? u?cosx ⑽?f?tanx??sec2xdx??f?tanx?d?tanx? u?tanx ?f?cotx??csc2xdx??f?cotx?d?cotx? u?cotx ?f?arctanx??11?x2dx??f?arctanx?d?arc uta?narctanx?x ? f ? arcsin x ? ? 1dx??f?arcsinx?d?arcsinu?arcsinxx1?x2 ? 十、分部积分法公式 ⑴形如?xneaxdx，令u?xn，dv?eaxdx 形如 ?nn x sinxdx令u?x，dv?sinxdx 形如?xncosxdx令u?xn，dv?cosxdx ⑵形如?xnarctanxdx，令u?arctanx，dv?xndx 形如 ? x n lnxdx，令u?lnx，dv?xndx axax⑶形如esinxdx，ecosxdx令u?eax,sinx,cosx??均可。
十一、第二换元积分法中的三角换元公式 (1)(3)（12）
a0xn?a1xn?1?limx??bxm?bxm?1?01a2?x2 x?asint (2) x?a x?asect
22 a2?x2 x?atant（系数不为0的情况）
?a0?b0?an????0?bm?????n?mn?m n?m【特殊角的三角函数值】
十三、下列常用等价无穷小关系（x?0）
sinxx tanxx arcsinx1?312（1）sin0?0 （2）sin? （3）sin?
arctanxx1?coxsx 62322?x
（4）sin?2?1） （5）sin??0
ln?1?x??x ex?1x ax?1xlna
?1?1?x??1?x 3（1）cos0?1 （2）cos? （3）cos?
32十四、三角函数公式 62?1.两角和公式
（4）cos?0） （5）cos???1
2sin(A?B)?sinAcosB?cosAsinB?
（1）tan0?0 （2）tan（4）tan?6??3 （3）tan?3 sinA(?B?)33siAncBo?scAos Bs
?2不存在 （5）tan??0 cos(A?B)?cosAcosB?sinAsinB3（1）cot0不存在 （2）cot?3 （3）cot?633（4）cot??cosA(?B?)tan(A?B)?coAscBo?sAsin Bs?2?0（5）cot?不存在
十二、重要公式
1sinx?1 （2）lim?1?x?x（1）limx?0x?0xlimna(a?o)?1
n??tanA?tanB1?tanAtanBtanA?tanBtan(A?B)?
1?tanAtanBcotA?cotB?1?e （3）cot(A?B)?cotB?cotAcotA?cotB?1cot(A?B)?
cotB?cotA
（4）limnn?1 （5）limarctanx?n??x???22.二倍角公式
sin2A?2sinAcosA
（6）limarctanx??x????2
cos2A?cos2A?sin2A?1?2sin2A?2cos2A?1
1?tanA（7）limarccotx?0 （8）limarccotx?? tan 2 A ?2tanA
2x???x??（9）lime?0
x???x3.半角公式
xx?1 （10）lime?? （11）lim?x???x?0xsinA1?cosA?22A1?cosA ?22
cos常量与变量
A1?cosAsinA变量的定义 tan??21?cosA1?cosA
我们在观察某一现象的过程时，常常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化，我们把其称之为常
a2tan2 tana?a1?ta2n27.平方关系
A1?cosAsinAcot??量；有的量在过程中是变化的，也就是可以取不同的数值，
sin2x?cos2x?121?cosA1?cosA
我们则把其称之为变量。
sec2x?tan2x?1
4.和差化积公式
注：在过程中还有一种量，它虽然是变化的，但是
sina?sinb?2sina?b2?cosa?b它的变化相对于所研究的对象是极其微小的，2我们则把它 sin看作常量。a?sinb ?2cosa?ba?b2?sin2
cosa?cosb?2cosa?ba变量的表示?b 2?cos 2如果变量的变化是连续的，则常用区间来表示其变化
a?cosb??2sina?b范围。a?b
cos2?sin
2在数轴上来说，区间是指介于某两点之间的线段上点
tana?tanb?sin?a?b?的全体。
cosa?cosb
区5.积化和差公式
间区间sinasinb??12??cos?a?b??cos的区间的满足的不等式?b?? 的记区间在数轴上的表示 名?a?号
称 cosacosb?12??cos?a?b??cos闭区?a?b???a≤x≤b [a，b]
间 sinacobs?12??s?ian??b?开区?sia?n???ba＜x＜b （a，
间 b） cosasibn?12??s?ian??b?半?sia?n??b开?（a，
或 区a＜x≤b或a≤x＜b b]6.万能公式
间 [a，b） 2tanasina?2 以上我们所述的都是有限区间，除此之外，还有无限区
1?tan2a间：
2 [a，+∞)：表示不小于a的实数的全体，也可记为：a≤x
1?tan2acosa?2
＜+∞；
1?tan2a2 (-∞，b)：表示小于b的实数的全体，也可记为：-∞
＜x＜b；
(-∞，+∞)：表示全体实数，也可记为：-∞＜x＜+∞ 注：其中-∞和+∞，分别读作\负无穷大\和\正无穷
大\它们不是数,仅仅是记号。
csc2x?cot2x?1 8.倒数关系 tanx?cotx?1
secx?cosx?1
cscx?sinx?1 9.商数关系
tanx?sinxcosx
cotx?cosxsinx
十五、几种常见的微分方程 1.可分离变量的微分方程：
dydx?f?x?g?y? ，
f1?x?g1?y?dx?f2?x?g2?y?dy?
2.齐次微分方程：
dydx?f??y??x??
3.一阶线性非齐次微分方程：
dydx?p?x?y?Q?x? 解为：
y?e??p高等数学在线教程 一.函数与极限
函 数
函数的定义
如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，量y按照一定的法则总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数。变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。通常x叫做自变量，y叫做因变量。
注：为了表明y是x的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示.这里的字母\、\表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的.
注：如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。这里我们只讨论单值函数。
函数的表示
a)：解析法：用数学式子表示自变量和因变量之间的
对应关系的方法即是解析法。
例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆的方程是：x2
+y2
=r
2
b)：表格法：将一系列的自变量值与对应的函数值列
成表来表示函数关系的方法即是表格法。
例：在实际应用中，我们经常会用到的平方表，三角函数表等都是用表格法表示的函数。
c)：图示法：用坐标平面上曲线来表示函数的方法即是图示法。一般用横坐标表示自变量，纵坐标表示因变
量。
例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆用图示法表示为：
函数的简单性态
函数的有界性
如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。
注意：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数
例题：函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的. 函数的单调性 如果函数
在区间(a,b)内随着x增大而增大，
即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有
，