则称函数在区间(a,b)内是单调增加的。 如果函数
在区间(a,b)内随着x增大而减小，
即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有 ，
则称函数在区间(a,b)内是单调减小的。 例题：函数
=x2
在区间(-∞,0)上是单调减小
的，在区间(0,+∞)上是单调增加的。 函数的奇偶性 如果函数
对于定义域内的任意x都满足
=
，
则
叫做偶函数；
如果函数对于定义域内的任意x都满足
=-，
则
叫做奇函数。
注意：偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称。 函数的周期性 对于函数，若存在一个不为零的数l，使得关
系式
对于定义域内任何x值都成立，则
叫做周期函数，
l是的周期。
注：我们说的周期函数的周期是指最小正周期。 例题：函数
是以2π为周期的周期函数；
函数tgx是以π为周期的周期函数。
反函数
反函数的定义 设有函数
，若变量y在函数的值域内任取一值
y0时，变量x在函数的定义域内必有一值x0与之对应，即
，那末变量x是变量y的函数.
这个函数用来表示，称为函数
的反
函数.
注：由此定义可知，函数也是函数
的反函数。
反函数的存在定理 若
在(a，b)上严格增(减)，其值域为 R，则它
的反函数必然在R上确定，且严格增(减). 注：严格增(减)即是单调增(减)
例题：y=x2
，其定义域为(-∞,+∞)，值域为[0,+∞).对于y取定的非负值,可求得x=±
.若我们不加条件，由y
的值就不能唯一确定x的值，也就是在区间(-∞,+∞)上，函数不是严格增(减)，故其没有反函数。如果我们加上条件，
要求x≥0，则对y≥0、x=
就是y=x2
在要求x≥0时的反
函数。即是：函数在此要求下严格增(减).
反函数的性质 在同一坐标平面内，与
的图形是关
于直线y=x对称的。 例题：函数
与函数
互为反函数，则它
们的图形在同一直角坐标系中是关于直线y=x对称的。如右图所
a):不论x指数函示： 复合函数的定义
a):其图形 若y是u的函数：
，且
，而u又是x的函数：
的定义
总位于y轴右侧,并过(1,0)点 b):当a＞对复合函数，记作
，其中u叫做中间变量。
数函 注：并不是任意两个函数就能复合；复合函数还可以由更多函数构成。 例题：函数一个函数的。 因为对于
的定义域(-∞,+∞)中的任何与函数
是不能复合成
数 1时,在区间(0,1)的值为负；在 数 为何值,y总为正数; b):当x=0时,y=1. 的函数值的全部或部分在
域内，那末，y通过u的联系也是x的函数，我们称后一个函数是由函数
及
复合而成的函数，简称
区间(-,+∞)的值为正；在定义域内单调增. x值所对应的u值（都大于或等于2），
令a=m/n 使
都没有定义。
a):当m为偶数n为奇
初等函数
数时,y是偶函数; 幂函数 图形的一部分。 函数; c):当m奇n偶时,y在a为任意实数 这里只画出部分函数 b):当m,n都是奇数时,y是奇基本初等函数
我们最常用的有五种基本初等函数，分别是：指数函数、对数函数、幂函数、三角函数及反三角函数。 下面我们用表格来把它们总结一下： 函数名称 函数的记号 函数的图形 函数的性质 (-∞,0)无意义. a):正弦函数是以2π为周期的周三角函(正弦函数) 期函数 这里只写出了正弦函数 b):正弦函数是奇函数且双曲函数
在应用中我们经常遇到的双曲函数是：(用表格来描述)
函数的函数的表达式 名称 a)：其定义域为:(-∞,+∞)； b)：是奇函数； 函数的图形 函数的性质 数 双 曲正弦 a):由于此函数为多值函数,因此反三角函数) 函这里只写出了反正弦数函数 c)：在定义域内 是单调增 a)：其定义域我们此函数(反正弦值限制在[-π/2,π/2]上,并称其为反正弦函数的主值. 双曲余弦 为:(-∞,+∞)； b)：是偶函数； c) ：其图像过点(0,1)； a)：其定义域为:(-∞,+∞)； b)：是奇函数； c)：其图形夹在 初等函数
由基本初等函数与常数经过有限次的有理运算及有限次的函数复合所产生并且能用一个解析式表出的函数称为初等函数. 例题：
双曲是初等函数。 正切 水平直线y=1及 我们再来学习一下工程技术中常用的函数——双曲函数及反双曲函数
y=-1之间；在定域内单调增；
双曲函数及反双曲函数
我们再来看一下双曲函数与三角函数的区别：
双曲函数的性质 三角函数的性质 若按照一定的法则，有第一个数a1，第二个数a2，?，依次排列下去，使得任何一个正整数n对应着一个确定的数an，那末，我们称这列有次序的数a1，a2，?，an，?为数列. 数列中的每一个数叫做数列的项。第n项an叫做数列的一般项或通项.
shx与thx是奇函数，chxsinx与tanx是奇函数，cosx是偶函数 是偶函数 注：我们也可以把数列an看作自变量为正整数n的函数，即：an=
，它的定义域是全体正整数
它们都不是周期函数 都是周期函数 双曲函数也有和差公式：
极限
极限的概念是求实际问题的精确解答而产生的。
例：我们可通过作圆的内接正多边形，近似求出圆的面积。 设有一圆，首先作圆内接正六边形，把它的面积记为A1；
再作圆的内接正十二边形，其面积记为A2； 再作圆的内接正二十四边形，其面积记为A3； 依次循下去(一般把内接正6×2边形的面积记为An)
n-1
反双曲函数
双曲函数的反函数称为反双曲函数.
可得一系列内接正多边形的面积：A1，A2，A3，?，An，?，
a)：反双曲正弦函数 域为：(-∞,+∞)； b)：反双曲余弦函数 域为：[1,+∞)；
其定义其定义
它们就构成一列有序数列。
我们可以发现，当内接正多边形的边数无限增加时，An也无限接近某一确定的数值(圆的面积)，这个确定的数值在数学上被称为数列A1，A2，A3，?，An，? 当n→∞(读作n趋近于无穷大)的极限
c)：反双曲正切函数 为：(-1,+1)；
其定义域
注：上面这个例子就是我国古代数学家刘徽(公元三世纪)的割圆术。
数列的极限
数列的极限
我们先来回忆一下初等数学中学习的数列的概念。
一般地，对于数列来说，
若存在任意给定的正数ε(不论其多么小)，总存在正整数N，使得对于n＞N时的一切
不等式
数列
都成立，那末就称常数a是数列收敛于a . 记作：
或
的极限，或者称数列 定理：若数列收敛，那末数列一定有界。
注：有界的数列不一定收敛，即：数列有界是数列收敛的
必要条件，但不是充分条件。
例：数列 1，-1，1，-1，?，(-1)，? 是有界的，
n+1
注：此定义中的正数ε只有任意给定，不等式才能表达出
与a无限接近的意思。
但它是发散的。
且定义中的正整数N与任意给定的正数ε是有关的，它是随着ε的给定而选定的。
函数的极限
注：在此我们可能不易理解这个概念，下面我们再给出它
前面我们学习了数列的极限，已经知道数列可看作一类特
的一个几何解释，以使我们能理解它。
殊的函数，即自变量取 1→∞内的正整数，若自变量不再限
数列
极限为a的一个几何解释：
在数轴上用它们的对应
于正整数的顺序，而是连续变化的，就成了函数。下面我们来学习函数的极限.
函数的极值有两种情况：a)：自变量无限增大；b)：自变量无限接近某一定点x0，如果在这时，函数值无限接近于某一常数A，就叫做函数存在极值。
我们已知道函数的极值的情况，那么函数的极限如何呢 ?
因不等式
故当n＞N时，所有的点
与不等式都落在开区
等价，
a):自变量趋向无穷大时函数的极限 定义： 设函数
间以外。
注：至于如何求数列的极限，我们在以后会学习到，这里我们不作讨论。
么小)，总存在着正数X，使得对于适合不等式 切x，所对应的函数值
都满足不等式
的一
，若对于任意给定的正数ε(不论其多
下面我们结合着数列的极限来学习一下函数极限的概念! 函数的极限(分两种情况)
将常数a及数列
点表示出来，再在数轴上作点a的ε邻域即开区间(a-ε，a+ε)，如下图所示：
间(a-ε，a+ε)内，而只有有限个(至多只有N个)在此区
数列的有界性 对于数列│
，若存在着正数M，使得一切
都满足不等式
那末常数A就叫做函数作：
当x→∞时的极限，记
│≤M，则称数列
是无界的。
是有界的，若正数M不存在，则可
说数列
下面我们用表格把函数的极限与数列的极限对比一下：