一般地，如果方程F(x,y)=0中，令x在某一区间内任取一值时，相应地总有满足此方程
或
，即：
则我们就
说方程F(x,y)=0在该区间上确定了x的隐函数y. . 把一个隐函数化成显函数的形式，叫做隐函数的显化。 的一阶导数.
的导数
或叫做函数
把
二阶导数的导数，叫做三阶导数，三阶导数的导数，叫做 注：四阶导数有些隐函数并不是很容易化为显函数的，那么在，?，一般地(n-1)阶求其导数时该如何呢？
下面让我们来解决这个问题！ 隐函数的求导
n阶导数.
：，，?，或，，?，
若已知F(x,y)=0，求
时，一般按下列步骤进行求解：
阶以上的导数统称高阶导数。
a)：若方程F(x,y)=0，能化为的形式，则用前面我们所学的方法进行求导
，求高阶导数就是多次接连地求导，所以，在求高阶导数时可运用前面所学的求导方法。 b)：若方程F(x,y)=0，不能化为
，求
=a，故
=0
的n阶导数。
例题：已知
，
，
，求
函数
，
的形式，则是方程两边对x进行求导，并
知
为
用复合函数求导法则进行。
对数函数
. ， 解答：此方程不易显化，故运用隐函数求导法， 两边对x进行求导，
般地，可得
隐函数及其求导法则
用解析法表示函数，可以有不同的形式.
故=
可以用含自变量x的算式表示，像y=sinx，y=1+3x等，这样的函数叫显函数.前面我们所
注：我们对隐函数两边对x进行求导时，一定要把变量y看成x的函数，然后对其利
导法则进行求导。
显函数.
例题：求隐函数
，在x=0处的导数
边对x求导
例题：已知
，求
此题可用复合函数求导法则进行求导，但是比较麻烦，下面我们利用对数求导 解答：先两边取对数
x=0时，y=0.故
再两边求导 在求导数时，若对其直接求导有时很不方便，像对某些幂函数进行求导时，有没有一种比呢？
再来学习一种求导的方法：对数求导法
对数求导法
因为，所以
函数的微分
学习函数的微分之前，我们先来分析一个具体问题：
则
一块正方形金属薄片受温度变化的影响时，其边长由x0变到了x0+△x，则此薄片的面积数求导的方法，对某一函数先取函数的自然对数，然后在求导。
法特别适用于幂函数的求导问题。
解答：设此薄片的边长为x，面积为A，则A是x的函数： 薄片受温度变化的影
知x＞0，求
变量，可以看成是当自变量x从x0取的增量△x时，函数A相应的增量△A，
即：题若对其直接求导比较麻烦，我们可以先对其两边取自然对数，然后再把它看成隐函数进 从上式我们可以看出，△A分成两部分，第一部分 第二部分
即图中的黑色部分，
较简便些。如下
是△x的线性函数，即下图
两边取对数：
看成隐函数，再两边求导
当△x→0时，它是△x的高阶无穷小，表示为：
，所以
们可以发现，如果边长变化的很小时，面积的改变量可以近似的用地一部分来代替。 下面我们给出微分的数学定义：
函数微分的定义
示， 我们把这一性质称为微分形式不变性。 例题：已知，求dy 某区间内有定义，x0及x0+△x在这区间内，若函数的增量可表示为其中A是不
， 解答：把2x+1看成中间变量u，根据微分形式不变性，则 赖于△x的常数，
叫做函数
是△x的高阶无穷小，则称函数在点x0可微的。 通过上面的学习，我们知道微分与导数有着不可分割的联系，前面我们知道基本初等在点x0相应于自变量增量△x的微分，记作dy， =
式和导数
即：
的运算法则，那么基本初等函数的微分公式和微分运算法则是怎样的呢？的学习我们知道：微分
是自变量改变量△x的线性函数，dy与△y的差是关于△x 下面我们来学习———基本初等函数的微分公式与微分的运算法则 的高阶
无穷小量，我们把dy称作△y的线性主部。 于是我们又得出：
基本初等函数的微分公式与微分的运算法则 当△x→0时，△y≈dy. 基本初等函数的微分公式 导数的记号为：
由于函数微分的表达式为：
，于是我们通过基本初等函数导数的公式可等函数微分的公式，下面我们用表格来把基本初等函数的导数公式与微分公式对比一下：， 微分公式 可以发现，它不仅表示导数的记号，而且还可以表示两个微分的比值(把△x导数公式看成dx,即 :定义自变量的增量等于自变量的微分)，还可表示为：
此我们得出：若函数在某区间上可导，则它在此区间上一定可微，反之亦成立。 微分形式不变性
什么是微分形式不边形呢？
设
，则复合函数
的微分为： ， 由于
，故我们可以把复合函数的微分写成微分运算法则
由函数和、差、积、商的求导法则，可推出相应的微分法则.为了便于理解，下面我们 ，不论u是自变量还是中间变量，
分的运算法则与导数的运算法则对照一下： 的微分dy总可以用与du的乘积来表函数和、差、积、商的求导法则 函数和、差、积、商的微分法则 角度看一个问题，如下：
设有连续函数 ，a与b是它定义区间内的两点(a
＜b)，假定此函数在(a,b)处处可导，也就是在(a,b)内的函数图形上处处都由切线，那末我们从图形上容易直到，
的微分法则就是前面我们学到的微分形式不变性，在此不再详述。 差商，求对x的导数 3就是割线AB的斜率，若我们把
割线AB作平行于自身的移动，那么至少有一次机会达到离割线最远的一点P(x=c)处成为曲线的切线，而曲线的斜率为
，由于切线与割线是平行的，因此
据微分形式的不变性 成立。
注：这个结果就称为微分学中值定理，也称为拉格朗日中值定理 示函数增量的线性主部.计算函数的增量，有时比较困难，但计算微分则比较简单，为此我
拉格朗日中值定理
如果函数的近似值。 在闭区间[a,b]上连续，在开区间
分来近似的代替函数的增量，这就是微分在近似计算中的应用. (a,b)内可导，那末在(a,b)内至少有一点c，使 成立。 们发现用计算的方法特别麻烦，为此把转化为求微分的问题 这个定理的特殊情形，即： 尔定理。描述如下： 若的情形，称为罗
近似值为1.025(精确值为1.024695) 三.导数的应用 在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，
，那末在(a,b)内至少有一点c，使
微分学中值定理 且 成立。 注：这个定理是罗尔在17世纪初，在微积分发明之前以
在给出微分学中值定理的数学定义之前，我们先从几何的几何的形式提出来的。
答案：对于函数
,
,来说，当x→a(或x→∞)时，
注：在此我们对这两个定理不加以证明，若有什么疑问，函数请参考相关书籍
都趋于零或无穷大
则极限
下面我们在学习一条通过拉格朗日中值定理推广得来的定理——柯西中值定理 柯西中值定理 如果函数(a，b)内可导，且
，
在闭区间[a，b]上连续，在开区间
把式子
可能存在，也可能不存在，我们就
称为未定式。分别记为型
我们容易知道，对于未定式的极限求法，是不能应用\商的极限等于极限的商\这个法则来求解的，那么我们该如何求
≠0，那末在(a，b)内至少有一点c，这类问题的极限呢？
下面我们来学习罗彼塔(L'Hospital)法则，它就是这个问
使
例题：证明方程个实根
成立。
题的答案
在0与1之间至少有一
注：它是根据柯西中值定理推出来的。 罗彼塔(L'Hospital)法则
证明：不难发现方程左端
的导数：
函数(0,1)内可导，且
是函数
当x→a(或x→∞)时，函数
大，在点a的某个去心邻域内(或当│x│＞N)时，
在[0，1]上连续，在，由罗尔定理
，
则：
=
都存在，
≠0，且
存在
与
,
都趋于零或无穷
可知，在0与1之间至少有一点c，使即
这种通过分子分母求导再来求极限来确定未定式的方法，
也就是：方程有一个实根
注：它是以前求极限的法则的补充，以前利用法则不好求
在0与1之间至少
就是所谓的罗彼塔(L'Hospital)法则
未定式问题
的极限，可利用此法则求解。
问题：什么样的式子称作未定式呢？
例题：求