解答：容易看出此题利用以前所学的法则是不易求解的，
不存在时，
了罗彼塔法则存在的条件破列。
因为它是未定式中的面所学的法则了。
也不存在，此时只是说明
型求解问题，因此我们就可以利用上
函数单调性的判定法
函数的单调性也就是函数的增减性，怎样才能判断函数的增减性呢？
例题：求
我们知道若函数在某区间上单调增(或减)，则在此区间内
解答：此题为未定式中的则来求解
型求解问题，利用罗彼塔法
函数图形上切线的斜率均为正(或负),也就是函数的导数在此区间上均取正值(或负值).因此我们可通过判定函数导数的正负来判定函数的增减性.
另外，若遇到
、
、
判定方法：
、
、
等型，
设函数
通常是转化为
型后，在利用法则求解。
在[a,b]上连续，在(a,b)内可导.
＞0，那末函数
在
a)：如果在(a,b)内[a,b]上单调增加； b)：如果在(a,b)内[a,b]上单调减少.
例题：求
解答：此题利用以前所学的法则是不好求解的，它为＜0，那末函数在
型，故可先将其转化为
型后在求解，
例题：确定函数
的增减区间.
解答：容易确定此函数的定义域为(－∞,＋∞)
其导数为：
，因此可以判出：
＞0，故它的单调增区间为(0,
当x＞0时，＋∞)；
当x＜0时，
注：罗彼塔法则只是说明：对未定式来说，当
＜0，故它的单调减区间为
存在，则存在且二者的极限相同；而并不是
(-∞,0)；
注：此判定方法若反过来讲，则是不正确的。
右侧邻近值时， 则函数
＜0，
在x0点取极大值。
＜0，当x取x0
函数的极值及其求法
在学习函数的极值之前，我们先来看一例子： 设有函数
，容易知道点x=1
情况一：若当x取x0左侧邻近值时，右侧邻近值时， 则函数
＞0，
在x0点取极小值。
及x=2是此函数单调区间的分界点，又可知在点x=1左侧附近，函数值是单调增加的，在点x=1右侧附近，函数值是单调减小的.因此存在着点x=1的一个邻域,对于这个邻域内,任何点x(x=1除外)，
＜
均成立，点x=2也有类似的
注：此判定方法也适用于导数在x0点不存在的情况。 用方法一求极值的一般步骤是： a)：求 b)：求 c)：判断数的极值。 例题：求 解答：先求导数
极值点
；
的全部的解——驻点；
在驻点两侧的变化规律，即可判断出函
情况(在此不多说),为什么这些点有这些性质呢？ 事实上，这就是我们将要学习的内容——函数的极值， 函数极值的定义 设函数
在区间(a,b)内有定义，x0是(a,b)内一点.
若存在着x0点的一个邻域，对于这个邻域内任何点x(x0点除外)， 则说
＜是函数
均成立，
的一个极大值；
再求出驻点：当
时，x=-2、1、-4/5
判定函数的极值，如下图所示
除外)， 则说
＞是函数
均成立，
的一个极小值.
若存在着x0点的一个邻域，对于这个邻域内任何点x(x0点
函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点。
我们知道了函数极值的定义了，怎样求函数的极值呢？ 学习这个问题之前，我们再来学习一个概念——驻点 凡是使
的x点，称为函数
的驻点。
方法二： 设函数
.
设函数
在x0点的邻域可导，且
.
则：a)：当
情况一：若当x取x0左侧邻近值时，
＞0，当x取x0
b)：当
＞0，函数
在x0点取极小值；
＜0，函数
在x0点取极大值；
在x0点具有二阶导数，且
时
判断极值点存在的方法有两种：如下 方法一：
c)：当定.
=0，其情形不一定，可由方法一来判
解答：在此区间处处可导，
，故x=±1，
先来求函数的极值
例题：我们仍以例1为例，以比较这两种方法的区别。 解答：上面我们已求出了此函数的驻点，下面我们再来求它的二阶导数。
小值即为所求。
再来比较端点与极值点的函数值，取出最大值与最
因为
来判定；
。
＜0，故此点为极大值点；
，故此时的情形不确定，我们可由方法一
，
故函数的最大值为
，，
，函数的最小值为
例题：圆柱形罐头，高度H与半径R应怎样配，使同样容
＞0，故此点为极小值点。
积下材料最省？ 解答：由题意可知： 面积
为一常数，
函数的最大值、最小值及其应用
在工农业生产、工程技术及科学实验中，常会遇到这样一类问题：在一定条件下，怎样使\产品最多\、\用料最省\、\
成本最低\等。
这类问题在数学上可归结为求某一函数的最大值、最小值的问题。
怎样求函数的最大值、最小值呢？前面我们已经知道了，函数的极值是局部的。要求
在[a,b]上的最大值、最小
故：
时，用料最省。
故在V不变的条件下，改变R使S取最小值。
值时，可求出开区间(a,b)内全部的极值点，加上端点
的值，从中取得最大值、最小值即为所求。
曲线的凹向与拐点
例题：求函数最大值、最小值。
，在区间[-3，3/2]的
通过前面的学习，我们知道由一阶导数的正负，可以判定出函数的单调区间与极值，但是还不能进一步研究曲线的性
态，为此我们还要了解曲线的凹性。 定义：
对区间I的曲线
作切线，如果曲线弧在所有切线
连续函数上，上凹弧与下凹弧的分界点称为此曲线上的拐点。
拐定的判定方法 如果列步骤来判定 (1)：求
在区间(a,b)内具有二阶导数，我们可按下
的拐点。 ；
=0，解出此方程在区间(a,b)内实根；
在
的下面，则称曲线在区间I下凹，如果曲线在切线的上面，称曲线在区间I上凹。 曲线凹向的判定定理 定理一：设函数
在区间(a,b)上可导，它对应曲
(2)：令
线是向上凹(或向下凹)的充分必要条件是： 导数减)。
定理二：设函数
在区间(a,b)上可导，并且具有在区间(a,b)上是单调增(或单调
(3)：对于(2)中解出的每一个实根x0，检查
x0左、右两侧邻近的符号，若符号相反，则此点是拐点，若相同，则不是拐点。
例题：求曲线的拐点。
一阶导数和二阶导数；那末：
解答：由
若在(a,b)内，对应的曲线是下凹的；
判断
若在(a,b)内，对应的曲线是上凹的；
＜0，则
在[a,b]
两点皆是曲线的拐点。
在0，2/3左、右两侧邻近的符号，可知此
＞0，则
在[a,b]
令
=0，得x=0，2/3
，
四.不定积分
例题：判断函数
的凹向
不定积分的概念
解答：我们根据定理二来判定。
原函数的概念
因为义域(0,+∞)内，
＜0，
，所以在函数
的定
已知函数f(x)是一个定义在某区间的函数，如果存在函数
F(x)，使得在该区间内的任一点都有
dF'(x)=f(x)dx， 则在该区间内就称函数F(x)为函数f(x)的原函数。
故函数所对应的曲线时下凹的。 拐点的定义
例：sinx是cosx的原函数。
关于原函数的问题
函数f(x)满足什么条件是，才保证其原函数一定存在呢？这个问题我们以后来解决。若其存在原函数，那末原函数一共有多少个呢？
我们可以明显的看出来：若函数F(x)为函数f(x)的原函数，
即：F\， 则函数族F(x)+C(C为任一个常数）中的任一个函数一定是f(x)的原函数，
故：若函数f(x)有原函数，那末其原函数为无穷多个. 不定积分的概念
函数f(x)的全体原函数叫做函数f(x)的不定积分， 记作
。
换元法
换元法（一）：设f(u)具有原函数F(u)，u=g(x)可导，那末F[g(x)]是f[g(x)]g'(x)的原函数. 即有换元公式:
例题：求
解答：这个积分在基本积分表中是查不到的，故我们要利用换元法。
设u=2x，那末cos2x=cosu，du=2dx，因此：
换元法（二）：设x=g(t)是单调的，可导的函数，并且g'(t)≠0，又设f[g(t)]g'(t)具有原函数φ(t)， 则φ[g(x)]是f(x)的原函数.(其中g(x)是x=g(t)的反函数） 即有换元公式:
例题：求角公式来换元.
F(x)+C. 即: 例题：求：
.
=F(x)+C
设x=asint(-π/2 ，dx=acostdt,于是有： 由上面的定义我们可以知道：如果函数F(x)为函数f(x)的一个原函数，那末f(x)的不定积分 就是函数族 解答：这个积分的困难在于有根式，但是我们可以利用三 解答：由于不定积分的性质 1、函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和； 即： ，故 = 关于换元法的问题 不定积分的换元法是在复合函数求导法则的基础上得来的，我们应根据具体实例来选择所用的方法，求不定积分不象求导那样有规则可依，因此要想熟练的求出某函数的不定积分，只有作大量的练习。 分部积分法 这种方法是利用两个函数乘积的求导法则得来的。 设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续导数.我们知道，两个函 积分号外面来， 即： 数乘积的求导公式为： (uv)'=u'v+uv'，移项，得 uv'=(uv)'-u'v，对其两边求不定积分得： 2、求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可以提到 求不定积分的方法 ， 这就是分部积分公式