数列的极限的定义 函数的极限的定义 存在函数与常数A 1有多接近， 或说：只要找到一个δ，当
就与2有多接近.
与2只差一个微量ε，就一定可以＜δ时满足
＜δ
存在数列与常数A 任给一正数ε＞0 定义：
总可找到一正数X 设函数
对于适合一切x 都满足 函数当 总存在正数δ，当0＜ 则称函数
＜δ时，
＜ε
的在某点x0的某个去心邻域内有定义，且存在
任给一正数ε＞0 总可找到一正整数N 对于n＞N的所有都满足则称数列记： 数A，如果对任意给定的ε(不论其多么小)，
＜ε 当x→x0时存在极限，且极限为A，记：
当x→∞时收敛于A
注：在定义中为什么是在去心邻域内呢？
这是因为我们只讨论x→x0的过程，与x=x0出的情况无
x→∞时的极限为A 记： 关。
此定义的核心问题是：对给出的ε，是否存在正数δ，
使其在去心邻域内的x均满足不等式。
有些时候，我们要用此极限的定义来证明函数的极限为 A，其证明方法是怎样的呢？ a):先任取ε＞0；
从上表我们发现了什么 ？？试思考之 b):自变量趋向有限值时函数的极限 我们先来看一个例子.
b):写出不等式
例：函数如何？
，当x→1时函数值的变化趋势
＜ε；
＜δ，若能；
＜
c):解不等式能否得出去心邻域0＜
d):则对于任给的ε＞0，总能找出δ，当0＜
函数在x=1处无定义.我们知道对实数来讲，在数轴上任何一个有限的范围内，都有无穷多个
点，为此我们把x→1时函数值的变化趋势用表列出,如下图:
从中我们可以看出x→1时，
→2.而且只要x与
δ时，则
＜ε成立，因此
下面我们来学习函数极限的运算法则和函数极限的存在准
函数极限的运算规则
前面已经学习了数列极限的运算规则，我们知道数列可作为一类特殊的函数，故函数极限的运算规则与数列极限的运
解答：
算规则相似。
注：通过此例题我们可以发现：当分式的分子和分
函数极限的运算规则
母都没有极限时就不能运用商的极限的运算
若已知x→x0(或x→∞)时，
.
规则了，应先把分式的分子分母转化为存在极限的
则：
情形，然后运用规则求之。
函数极限的存在准则
推论：
学习函数极限的存在准则之前，我们先来学习一下左、右的概念。
我们先来看一个例子：
在求函数的极限时，利用上述规则就可把一个复杂的函数化为若干个简单的函数来求极限。
例：符号函数为
例题：求 解答：
对于这个分段函数,x从左趋于0和从右趋于0时函数极限是不相同的.
为此我们定义了左、右极限的概念。 定义：如果x仅从左侧(x＜x0)趋近x0时，函数量A无限接近，则称A为函数
当
与常
时
与常
例题：求
的左极限.记：
此题如果像上题那样求解，则会发现此函数的极限不
如果x仅从右侧(x＞x0)趋近x0时，函数
存在.我们通过观察可以发现此分式的分子
量A无限接近，则称A为函数
和分母都没有极限，像这种情况怎么办呢？下面我们
的右极限.记：
把它解出来。
注：只有当x→x0时，函数
的左、右极限存在且相等，
当
时
方称在x→x0时有极限
函数极限的存在准则
准则一：对于点x0的某一邻域内的一切x，x0点本身可以
除外(或绝对值大于某一正数的一切x)有
≤
≤
，且
，
那末
存在，且等于A
注：此准则也就是夹逼准则.
准则二：单调有界的函数必有极限. 注：有极限的函数不一定单调有界 两个重要的极限
一：
注：其中e为无理数，它的值为：e=2.718281828459045...
二：
注：在此我们对这两个重要极限不加以证明.
注：我们要牢记这两个重要极限，在今后的解题中会经常用到它们.
例题：求
解答：令，则x=-2t，因为x→∞，故t→∞，
则
注：解此类型的题时，一定要注意代换后的变量的趋向情况，象x→∞时，若用t代换1/x，则t→0.
无穷大量和无穷小量
无穷大量
我们先来看一个例子：
已知函数，当x→0时，可知，
我们把这种情况称为
趋向无穷大。
为此我们可定义如下：
设有函数y=
，在x=x0的去心邻域内有定义，
对于任意给定的正数N(一个任意大的数)，总可找到正数δ，当
时，
成立，
则称函数当
时为无穷大量。
记为：（表示为无穷大量，实际它是
没有极限的）
同样我们可以给出当x→∞时，
无限趋大的定
义：
设有函数y=
，当x充分大时有定义，对于任
意给定的正数N(一个任意大的数)，总可以找到正数M，当
时，
成立，
则称函数当x→∞时是无穷大量，记为：
无穷小量
以零为极限的变量称为无穷小量。 定义：设有函数
，对于任意给定的正数ε(不
论它多么小)，总存在正数δ(或正数M)，使得对于适合不等式
(或
)
的一切x，所对应的函数值满足不等式， 则称函数当
(或x→∞)时 为无穷小
量.
记作：
(或
)
注意：无穷大量与无穷小量都是一个变化不定的量，不是常量，只有0可作为无穷小量的唯一常量。 无穷大量与无穷小量的区别是：前者无界，
后者有界，前者发散，后者收敛于0.
无穷大量与无穷小量是互为倒数关系的. 关于无穷小量的两个定理 定理一：如果函数在
(或x→∞)时有
极限A，则差
是当(或x→∞)时的无穷小量，反
之亦成立。
定理二：无穷小量的有利运算定理
a)：有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；
b)：有限个无穷小量的积仍是无穷小量；
c)：常数与无穷小量的积也是无穷小量.
无穷小量的比较
通过前面的学习我们已经知道，两个无穷小量的和、差及
乘积仍旧是无穷小.那么两个无穷小量的
商会是怎样的呢？
好！接下来我们就来解决这个问题，这就是我们要学的两
个无穷小量的比较。
定义：设α，β都是时的无穷小量，且β在x0
的去心领域内不为零，
a)：如果
，则称α是β的高阶无穷小
或β是α的低阶无穷小；
b)：如果
，则称α和β是同阶无穷小；
c)：如果
，则称α和β是等价无穷小，
记作：α∽β(α与β等价)
例：因为，所以当x→0时，x与3x是同阶无穷小；
注：
注：从这个例题中我们可以发现，作无穷小变换时，要代
换式中的某一项，不能只代换某个因子。
因为，所以当x→0时，x是3x的高阶无穷小；
2
函数的一重要性质——连续性
因为
，所以当x→0时，sinx与x是等价无穷小。 等价无穷小的性质
在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的.这种现象在函数关系上的反映，就是
设，且存在，则
函数的连续性
.
在定义函数的连续性之前我们先来学习一个概念——增
量
设变量x从它的一个初值x1变到终值x2，终值与初值的
注：这个性质表明：求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来代替，因此我们可以利用这个性质
来简化求极限问题。
差x2-x1就叫做变量x的增量，记为：△x
即：△x=x2-x1 增量△x可正
可负.
例题：1.求
我们再来看一个例子：函数在点x0的邻域内有
解答：当x→0时，sinax∽ax，tanbx∽bx，故：
定义，当自变量x在领域内从x0变到x0+△x时，函数y相 应地从
变到
，其对应的增量为：
例题： 2.求
解答：
这个关系式的几何解释如下图：
现在我们可对连续性的概念这样描述：如果当△x趋向
于零时，函数y对应的增量△y也趋向于零，
即：