设有空间两点，若以P1为始点，
只需要确定一条空间直线的方位(一条直线的两个方向均确定着同一方位)，那末就不一定需要知道方向余弦，而只要知
另一点P2为终点的线段称为有向线段.记作作一与其平行且同向的有向线段
.将
.通过原点与Ox,Oy,Oz三
道与方向余弦成比例的三个数就可以了。这三个与方向余弦成比例且不全为零的数A，B，C称为空间直线的方向数，记作：{A，B，C}.即：
个坐标轴正向夹角分别记作α,β,γ.这三个角α,β,γ称为有向线段
的方向角.其中
0≤α≤π,0≤β≤π,0≤γ≤π. 关于方向角的问题
若有向线段的方向确定了，则其方向角也是唯一确定的。
据此我们可得到方向余弦与方向数的转换公式：
方向角的余弦
应的有向线段的方向余弦。 设有空间两点可表示为：
，则其方向余弦
称为有向线段
或相
，
，
其中：根式取正负号分别得到两组方向余弦，它们代表两个相反的方向。 关于方向数的问题
空间任意两点坐标之差就是联结此两点直线的一组方向
数。
两直线的夹角
设L1与L2是空间的任意两条直线，它们可能相交，也可
能不相交.通过原点O作平行与两条直线的线段线段
的夹角称为此两直线L1与L2的夹角.
.则
若知道L1与L2的方向余弦则有公式为：
从上面的公式我们可以得到方向余弦之间的一个基本关系式：
其中：θ为两直线的夹角。
若知道L1与L2的方向数则有公式为：
注意：从原点出发的任一单位的有向线段的方向余弦就是其端点坐标。 方向数
方向余弦可以用来确定空间有向直线的方向，但是，如果
两直线平行、垂直的条件
两直线平行的充分必要条件为： 平行于x轴的平面方程的一般形式为： By+Cz+D=0.
两直线垂直的充分必要条件为：
平行于y轴的平面方程的一般形式为： Ax+Cz+D=0.
平行于z轴的平面方程的一般形式为： Ax+By+D=0. 3、通过坐标轴
平面与空间直线
通过x轴的平面方程的一般形式为：
平面及其方程
By+Cz=0.
我们把与一平面垂直的任一直线称为此平面的法线。
通过y轴和z轴的平面方程的一般形式为：
设给定点为Po(x0,y0,z0),给定法线n的一组方向数为{A,B,C}A+B+C≠0，则过此定点且以n为法线的平面方程可
4、垂直于坐标轴
表示为：
垂直于x、y、z轴的平面方程的一般形式为：
Ax+D=0，By+D=0，Cz+D=0.
注意：此种形式的方程称为平面方程的点法式。 例题：设直线L的方向数为{3，-4，8}，求通过点(2,1,-4)且垂直于直线L的平面方程.
解答：应用上面的公式得所求的平面方程为： 即 我们把形式为：
Ax+By+Cz+D=0.
称为平面方程的一般式。其中x,y,z的系数A，B，C是平面的法线的一组方向数。 几种特殊位置平面的方程 1、通过原点
其平面方程的一般形式为： Ax+By+Cz=0. 2、平行于坐标轴
这就是直线方程的一般式。 平面、直线间的平行垂直关系
直线及其方程
任一给定的直线都有着确定的方位.但是,具有某一确定方位的直线可以有无穷多条,它们相互平行.如果要求直线再通过某一定点,则直线便被唯一确定，因而此直线的方程就可由通过它的方向数和定点的坐标表示出来。 设已知直线L的方向数为{l,m,n}，又知L上一点Po(x0,y0,z0),则直线L的方程可表示为：
2
2
2
Ax+Cz=0，Ax+By=0.
上式就是直线L的方程，这种方程的形式被称为直线方程的对称式。
直线方程也有一般式，它是有两个平面方程联立得到的，如下：
对于一个给定的平面，它的法线也就可以知道了。因此平面间的平行与垂直关系，也就转化为直线间的平行与垂直关系。平面与直线间的平行与垂直关系，也就是平面的法线与直线的平行与垂直关系。
总的来说，平面、直线间的垂直与平行关系，最终都转化
便是它们的交线方程。 两类常见的曲面 1、柱面
设有动直线L沿一给定的曲线C移动，移动时始终与给定的直线M平行，这样由动直线L所形成的曲面称为柱面，动
为直线与直线的平行与垂直关系。在此我们就不列举例题了。 直线L称为柱面的母线，定曲线C称为柱面的准线。
曲面与空间曲线
2、旋转面
设有一条平面曲线C，绕着同一平面内的一条直线L旋转一周，这样由C旋转所形成的曲面称为旋转面，曲线C称为旋转面的母线，直线L称为旋转面的轴。 下面我们再列举出几种常见的二次曲面
曲面的方程
我们知道，在平面解析几何中可把曲线看成是动点的轨迹.因此，在空间中曲面可看成是一个动点或一条动曲线(直线)按一定的条件或规律运动而产生的轨迹。
设曲面上动点P的坐标为(x,y,z)，由这一条件或规律就能导出一个含有变量x,y,z的方程：
二次曲面的名称 椭球面 二次曲面的方程 单叶双曲面 双叶双曲面 如果此方程当且仅当P为曲面上的点时，才为P点的坐标所满足。那末我们就用这个方程表示曲面，并称这个方程为曲面的方程，把这个曲面称为方程的图形。 空间曲线的方程
我们知道，空间直线可看成两平面的交线，因而它的方程可用此两相交平面的方程的联立方程组来表示，这就是直线方程的一般式。
一般地，空间曲线也可以象空间直线那样看成是两个曲面的交线，因而空间曲线的方程就可由此两相交曲面方程的联立方程组来表示。
设有两个相交曲面，它们的方程是
，那末联立方程组：
，
椭圆抛物面 双曲抛物面 七.多元函数的微积分
多元函数的概念
我们前面所学的函数的自变量的个数都是一个，但是在实际
问题中，所涉及的函数的自变量的个数往往是两个，或者更多。
例：一个圆柱体的体积关。`
与两个独立变量r,h有
我们先以二个独立的变量为基础，来给出二元函数的定义。 二元函数的定义
设有两个独立的变量x与y在其给定的变域中D中，任取一组数值时，第三个变量z就以某一确定的法则有唯一确定的值与其对应，那末变量z称为变量x与y的二元函数。 记作：z=f(x,y). 其中x与y称为自变量，函数z也叫做因变量，自变量x与y的变域D称为函数的定义域。 关于二元函数的定义域的问题
我们知道一元函数的定义域一般来说是一个或几个区间.二元函数的定义域通常是由平面上一条或几段光滑曲线所围成的连通的部分平面.这样的部分在平面称为区域.围成区域的曲线称为区域的边界，边界上的点称为边界点，包括边界在内的区域称为闭域，不包括边界在内的区域称为开域。 如果一个区域D(开域或闭域)中任意两点之间的距离都不超过某一常数M，则称D为有界区域；否则称D为无界区域。常见的区域有矩形域和圆形域。如下图所示：
二元函数的极限及其连续性
在一元函数中，我们曾学习过当自变量趋向于有限值时函
数的极限。对于二元函数z=f(x,y)我们同样可以学习当自变量x与y趋向于有限值ξ与η时，函数z的变化状态。 在平面xOy上，(x,y)趋向(ξ,η)的方式可以时多种多样的，因此二元函数的情况要比一元函数复杂得多。如果当点(x,y)以任意方式趋向点(ξ,η)时，f(x,y)总是趋向于一个确定的常数A，
那末就称A是二元函数f(x,y)当(x,y)→(ξ,η)时的极限。
这种极限通常称为二重极限。
下面我们用ε-δ语言给出二重极限的严格定义： 二重极限的定义
如果定义于(ξ,η)的某一去心邻域的一个二元函数
f(x,y)跟一个确定的常数A有如下关系：对于任意给定的正数ε，无论怎样小，相应的必有另一个正数δ，凡是满足 的一切(x,y)都使不等式
例题：求
的定义域.
解答：该函数的定义域为：x≥二元函数的几何表示
把自变量x、y及因变量z当作空间点的直角坐标，先在xOy平面内作出函数z=f(x,y)的定义域D；再过D域中得任一点M(x,y)作垂直于xOy平面的有向线段MP,使其值为与(x,y)对应的函数值z；
当M点在D中变动时，对应的P点的轨迹就是函数z=f(x,y)的几何图形.它通常是一张曲面， 其定义域D就是此曲面在xOy平面上的投影。
,y≥0.
成立，
那末常数A称为函数f(x,y)当(x,y)→(ξ,η)时的二重极限。
正像一元函数的极限一样，二重极限也有类似的运算法则：
二重极限的运算法则
如果当（x,y)→(ξ,η)时，f(x,y)→A，g(x,y)→B. 那末(1)：f(x,y)±g(x,y)→A±B； (2)：f(x,y)g(x,y)→AB；
(3)：f(x,y)/g(x,y)→A/B；其中B≠0
.
.
像一元函数一样，我们可以利用二重极限来给出二元函数连续的定义： 二元函数的连续性
如果当点(x,y)趋向点(x0,y0)时，函数f(x,y)的二重极限等于f(x,y)在点(x0,y0)处的函数值f(x0,y0)，那末称函数f(x,y)在点(x0,y0)处连续.如果f(x,y)在区域D的每一点都连续，那末称它在区域D连续。
设有二元函数z=f(x,y)，点(x0,y0)是其定义域D内一点.把y固定在y0而让x在x0有增量△x，相应地函数 z=f(x,y)有增量(称为对x的偏增量)
△xz=f(x0+△x)-f(x0,y0). 如果△xz与△x之比当△x→0时的极限
存在，
如果函数z=f(x,y)在(x0,y0)不满足连续的定义，那末我们就称(x0,y0)是f(x,y)的一个间断点。 关于二元函数间断的问题
二元函数间断点的产生与一元函数的情形类似，但是二元函数间断的情况要比一元函数复杂，它除了有间断点，还有间断线。
二元连续函数的和，差，积，商(分母不为零）和复合函数仍是连续函数。
记作：f'x(x0,y0)或 关于对x的偏导数的问题
函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数，实际上就是把y固定在y0看成常数后，一元函数z=f(x,y0)在x0处的导数 同样，把x固定在x0,让y有增量△y,如果极限
那末此极限值称为函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数。
例题：求下面函数的间断线
在，
存
解答：x=0与y=0都是函数的间断线。
那末此极限称为函数z=(x,y)在(x0,y0)处对y的偏导数.
偏导数
在一元函数中，我们已经知道导数就是函数的变化率。对
记作f'y(x0,y0)或偏导数的求法
当函数z=f(x,y)在(x0,y0)的两个偏导数f'x(x0,y0)与f'y(x0,y0)都存在时，
我们称f(x,y)在(x0,y0)处可导。如果函数f(x,y)在域D的每一点均可导，
那末称函数f(x,y)在域D可导。
此时，对应于域D的每一点(x,y)，必有一个对x(对y)的偏导数，因而在域D确定了一个新的二元函数， 称为f(x,y)对x(对y)的偏导函数。简称偏导数。 例题：求z=xsiny的偏导数
2
于二元函数我们同样要研究它的\变化率\。然而，由于自变量多了一个，情况就要复杂的多.在xOy平面内，当变点由(x0,y0)沿不同方向变化时，函数f(x,y)的变化快慢一般说来时不同的，因此就需要研究f(x,y)在(x0,y0)点处沿不同方向的变化率。
在这里我们只学习(x,y)沿着平行于x轴和平行于y轴两个特殊方位变动时f(x,y)的变化率。 偏导数的定义