例题：求
例题：求 解答：
解答：这个积分用换元法不易得出结果，我们来利用分部积分法。
设u=x，dv=cosxdx，那末du=dx，v=sinx，代入分部积分公式得：
关于分部积分法的问题
在使用分部积分法时，应恰当的选取u和dv，否则就会南辕北辙。选取u和dv一般要考虑两点： (1)v要容易求得； (2)
容易积出。
例题：求 解答：设分为：
关于三角函数的有理式的积分的问题
任何三角函数都可用正弦与余弦函数表出，故变量代换u=tan(x/2)对三角函数的有理式的积分应用，在此我 们不再举例。
简单无理函数的积分举例
，于是x=u+1，dx=2udu，从而所求积
2
几种特殊类型函数的积分举例
有理函数的积分举例
有理函数是指两个多项式的商所表示的函数，当分子的最
五.定积分及其应用
高项的次数大于分母最高项的次数时称之为假分式， 反之为真分式。
在求有理函数的不定积分时，若有理函数为假分式应先利用多项式的除法，把一个假分式化成一个多项式和一个真分式之和的形式，然后再求之。
定积分的概念
我们先来看一个实际问题———求曲边梯形的面积。 设曲边梯形是有连续曲线y=f(x)、x轴与直线x=a、x=b所围成。如下图所示：
例题：求 解答：
形有一边是一条曲线，该如何求呢？
我们知道曲边梯形在底边上各点处的高f(x)在区间[a,b]上变动，而且它的高是连续变化的，因此在很小的一段区间的变化很小，近似于不变，并且当区间的长度无限缩小时，高的变化也无限减小。因此，如果把区间[a,b]分成许多小区间，在每个小区间上，用其中某一点的高来近似代替同一个小区间上的窄曲变梯形的变高，我们再根据矩形的面积公式，即可求出相应窄曲边梯形面积的近似值，从而求出整个曲边梯形的近似值。
显然：把区间[a,b]分的越细，所求出的面积值越接近于精确值。为此我们产生了定积分的概念。
现在计算它的面积A.我们知道矩形面积的求法，但是此图
关于有理函数积分的问题
有理函数积分的具体方法请大家参照有关书籍，请谅。 三角函数的有理式的积分举例
三角函数的有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数。
定积分的概念
设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点
a=x0 [x0，x1]，[xn-1,xn], 在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ξi(xi-1≤ξi≤xi),作函数值f(ξi)与小区间长度的乘积f(ξi)△xi， 并作出和 ， 存在。 ...... 微积分积分公式 积分上限的函数及其导数 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且设x为[a,b]上的一点.现在我们来考察f(x)在部分区间[a,x]上的定积分 ,我们知道f(x)在[a,x]上仍旧连续，因此此定积分 如果上限x在区间[a,b]上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个对应值，所以它在[a,b]上定义了一个函数，记作φ(x): 。 的函数 在[a,b]上具有导数， 并且它的导数是 （a≤x≤b) (2)：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则函数 就是f(x)在[a,b]上的一个原函数。 注意：定理（2）即肯定了连续函数的原函数是存在的，又初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系。 牛顿--莱布尼兹公式 分变量的记法无关） 定理(1)：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分上限 如果不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间上的点ξi怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，和S总趋于确定的极限I， 这时我们称这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分， 记作 即：关于定积分的问题 我们有了定积分的概念了，那么函数f(x)满足什么条件时才可积？ 定理（1）：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积。 （2）：设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积。 定积分的性质 性质(1)：函数的和(差)得定积分等于它们的定积分的和(差）. 即： 注意：为了明确起见，我们改换了积分变量（定积分与积 性质(2)：被积函数的常数因子可以提到积分号外面. 即： 定理(3)：如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则 性质(3)：如果在区间[a,b]上，f(x)≤g(x)，则≤ （a 注意：此公式被称为牛顿-莱布尼兹公式，它进一步揭示了定积分与原函数(不定积分）之间的联系。 它表明：一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于它的任一个原函数再去见[a,b]上的增量。因此它就 给定积分提供了一个有效而简便的计算方法。 例题：求 性质(4)：设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值及最小值，则 m(b-a)≤ ≤M(b-a) 性质(5)：如果f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一点ξ，使下式成立： =f(ξ)(b-a) 注：此性质就是定积分中值定理。 解答：我们由牛顿-莱布尼兹公式得： 上式即为定积分的分部积分公式。 注意：通常也把牛顿--莱布尼兹公式称作微积分基本公式。 解答：设 ，且当x=0时，t=0；当 例题：计算 定积分的换元法与分部积分法 x=1时，t=1.由前面的换元公式得： 再用分部积分公式计算上式的右端的积分。设u=t,dv=edt,则du=dt,v=e.于是： 故： t t 定积分的换元法 我们知道求定积分可以转化为求原函数的增量，在前面我们又知道用换元法可以求出一些函数的原函数。因此，在一定条件下，可以用换元法来计算定积分。 定理：设函数f(x)在区间[a,b]上连续；函数g(t)在区间[m,n]上是单值的且有连续导数；当t在区间[m,n]上变化时，x=g(t)的值在[a,b]上变化，且g(m)=a,g(n)=b；则有定积分的换元公式: 例题:计算 广义积分 在一些实际问题中，我们常遇到积分区间为无穷区间，或 者被积函数在积分区间上具有无穷间断点的积分，它们已不属于前面我们所学习的定积分了。为此我们对定积分加以推广，也就是———广义积分。 一：积分区间为无穷区间的广义积分 设函数f(x)在区间[a,+∞)上连续，取b>a.如果极限 存在， 解答:设x=asint,则dx=acostdt,且当x=0时，t=0；当x=a时，t=π/2.于是： 则此极限叫做函数f(x)在无穷区间[a,+∞）上的广义积分， 注意：在使用定积分的换元法时，当积分变量变换时，积分的上下限也要作相应的变换。 定积分的分部积分法 = 计算不定积分有分部积分法，相应地，计算定积分也有分部积分法。 此时也就是说广义积分 收敛。如果上述即先不发散，此时虽然用同样的记号， . 记作： 即： ， 设u(x)、v(x)在区间[a,b]上具有连续导数u'(x)、v'(x)，存在，则说广义积分则有(uv)'=u'v+uv',分别求此等式两端在[a,b]上的定积分，但它已不表示数值了。 并移向得： 类似地，设函数f(x)在区间(-∞，b]上连续，取a 果极限 存在， 仍然记作： 即：= ， . 则此极限叫做函数f(x)在无穷区间(-∞，b]上的广义积分， 记作： 即：= . 收敛。如果上述极限不 存在，就说广义积分 如果广义积分 和 发散。 则定义 都收敛，则称上述两 = ； 发散。 存在， ， 这时也说广义积分就说广义积分 收敛.如果上述极限不存在， 发散。 .取 类似地，设f(x)在[a,b)上连续，而ε>0，如果极限 此时也就是说广义积分 广义积分之和为函数f(x)在无穷区间(-∞,+∞)上的广义积分， 记作： 即： ， 否则就说广义积分 又，设f(x)在[a,b]上除点c(a .如果两个广义积分 敛， 和 都收 = 则定义：+ . 发散。 = 上述广义积分统称积分区间为无穷的广义积分。 例题：计算广义积分 解答： 否则就说广义积分 例题：计算广义积分(a>0) 解答：因为 二：积分区间有无穷间断点的广义积分 ，所以x=a为被积函数的 无穷间断点，于是我们有上面所学得公式可得： 设函数f(x)在(a,b]上连续，而 .取ε>0， 如果极限 极限叫做函数f(x)在(a,b]上的广义积分， 存在，则 六.空间解析几何 空间直角坐标系 空间点的直角坐标系 为了沟通空间图形与数的研究，我们需要建立空间的点与 坐标为x,y,z的点M通常记为M(x,y,z). 这样，通过空间直角坐标系，我们就建立了空间的点M和有序数组x,y,z之间的一一对应关系。 注意：坐标面上和坐标轴上的点，其坐标各有一定的特征. 例：如果点M在yOz平面上，则x=0；同样，zOx面上的点，y=0；如果点M在x轴上，则y=z=0；如果M是原点， 则x=y=z=0，等。 空间两点间的距离 设M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)为空间两点，为了用两点的坐标来表达它们间的距离d我们有公式： 例题：证明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的三角形△ABC是一等腰三角形. 解答：由两点间距离公式得： 有序数组之间的联系，为此我们通过引进空间直角坐标系来实现。 过定点O，作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点且一般具有相同的长度单位.这三条轴分别叫做x轴(横轴）、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)；统称坐标轴.通常把x轴和y轴配置在水平面上，而z轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则，即以右手握住z轴，当右手的四指从正向x轴以π/2角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向，这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系，点O叫做坐标原点。（如下图所示） 三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称坐标面。 取定了空间直角坐标系后，就可以建立起空间的点与有序数组之间的对应关系。 例：设点M为空间一已知点.我们过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴、z轴，它们与x轴、y轴、z轴的交点依次为P、Q、R，这三点在x轴、y轴、z轴的坐标依次为x、y、z.于是空间的一点M就唯一的确定了一个有序数组x,y,z.这组数x,y,z就叫做点M的坐标，并依次称x,y和z为点M的横坐标，纵坐标和竖坐标。(如下图所示） 由于 ，所以△ABC是一等腰三角形 方向余弦与方向数 解析几何中除了两点间的距离外，还有一个最基本的问题就是如何确定有向线段的或有向直线的方向。 方向角与方向余弦