2010年高考数学试题分类汇编——圆锥曲线
（2010上海文数）23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
x2y2已知椭圆?的方程为2?2?1(a?b?0)，A(0,b)、B(0,?b)和Q(a,0)为?的三个顶点.
ab?????1????????M（1）若点满足AM?(AQ?AB)，求点M的坐标；
2（2）设直线l1:y?k1x?p交椭圆?于C、D两点，交直线l2:y?k2x于点E.若
b2k1?k2??2，证明：E为CD的中点；
a（3）设点P在椭圆?内且不在x轴上，如何构作过PQ中点F的直线l，使得l与椭圆?的
????????????????????????a?10，b?5，点P的坐标是两个交点P1、P2满足PP1?PP2?PQPP1?PP2?PQ？令????????????（-8，-1），若椭圆?上的点P1、P2满足PP1、P2的坐标. 1?PP2?PQ，求点Pab解析：(1) M(,?)；
22?y?k1x?p?(2) 由方程组?x2y2，消y得方程(a2k12?b2)x2?2a2k1px?a2(p2?b2)?0，
?2?2?1b?a因为直线l1:y?k1x?p交椭圆?于C、D两点， 所以?>0，即a2k12?b2?p2?0，
设C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中点坐标为(x0,y0)， ?x1?x2a2k1p??22?x0?2ak1?b2?则?， 2bp?y?kx?p?10?0a2k12?b2??y?k1x?p由方程组?，消y得方程(k2?k1)x?p，
y?kx?2?a2k1pp??22?x0?x?22k?kak?bb?211又因为k2??2，所以?， 2ak1?y?kx?bp?y20?a2k12?b2?第 - 1 - 页 共 42 页 圆锥曲线
故E为CD的中点；
(3) 因为点P在椭圆Γ内且不在x轴上，所以点F在椭圆Γ内，可以求得直线OF的斜率k2，????????????b2由PP，从而得直线l的1?PP2?PQ知F为P1P2的中点，根据(2)可得直线l的斜率k1??2ak2方程．
b2111F(1,?)，直线OF的斜率k2??，直线l的斜率k1??2?，
ak22221?y?x?1??22
解方程组?2，消y：x?2x?48?0，解得P1(?6,?4)、P2(8,3)． 2xy???1??10025
（2010湖南文数）19.（本小题满分13分）
为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距8Km的A、B两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过A、B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图4）。考察范围到A、B两点的距离之和不超过10Km的区域。 （I） （II）
求考察区域边界曲线的方程：
如图4所示，设线段PP，当冰川融化12 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界）时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍。问：经过多长时间，点A恰好在冰川边界线上？
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m2?0，椭圆（2010浙江理数）(21) （本题满分15分）已知m＞1，直线l:x?my?2x2C:2?y2?1，F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点.
m（Ⅰ）当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A,B两点，VAF1F2，VBF1F2的重心分别为G,H.若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数
m的取值范围.
解析：本题主要考察椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位置关系等基础知识，同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。
m2m222?0经过F2(m?1,0)，所以m?1? （Ⅰ）解：因为直线l:x?my?,得
22m2?2，
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又因为m?1，所以m?2，
2故直线l的方程为x?2y??0。
2（Ⅱ）解：设A(x1,y1),B(x2,y2)。
2?m2x?my???2 由?2，消去x得
?x?y2?1??m2m22y?my??1?0
42m2 则由??m?8(?1)??m2?8?0，知m2?8，
42mm21?。 且有y1?y2??,y1?y2?282由于F1(?c,0),F2(c,0),， 故O为F1F2的中点，
????????????????由AG?2GO,BH?2HO，
可知G(2x1y1xy,),h(2,1), 3333(x1?x2)2(y1?y2)2GH??
99设M是GH的中点，则M(由题意可知2MO?GH,
x1?x2y1?y2,)， 66x1?x22y1?y22(x1?x2)2(y1?y2)2)?()]??即4[( 6699即x1x2?y1y2?0
m2m2)(my2?)?y1y2 而x1x2?y1y2?(my1?22第 - 4 - 页 共 42 页 圆锥曲线
m21）(?) ?(m?1822m21??0 所以
82即m?4
又因为m?1且??0 所以1?m?2。
所以m的取值范围是(1,2)。
（2010全国卷2理数）（21）（本小题满分12分）
2x2y2 己知斜率为1的直线l与双曲线C：2?2?1?a＞0，b＞0?相交于B、D两点，且BDab的中点为M?1,3?． （Ⅰ）求C的离心率；
（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，DF?BF?17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．
【命题意图】本题主要考查双曲线的方程及性质，考查直线与圆的关系，既考查考生的基础
知识掌握情况，又可以考查综合推理的能力. 【参考答案】
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