当S?PAB|x0?y0|(3?x0)2 ?S?PMN时，得|x0?y0|?2|x0?1|又|x0?y0|?0，
所以(3?x0)2=|x02?1|，解得|x0?因为x02?3y02?4，所以y0??5。 333 95333). 9故存在点P使得?PAB与?PMN的面积相等，此时点P的坐标为(,?解法二：若存在点P使得?PAB与?PMN的面积相等，设点P的坐标为(x0,y0)
11|PA|?|PB|sin?APB?|PM|?|PN|sin?MPN. 22 因为sin?APB?sin?MPN,
则 所以
|PA||PN|?
|PM||PB| 所以
|x0?1||3?x0| ?|3?x0||x?1|5 3 即 (3?x0)2?|x02?1|，解得x0? 因为x02?3y02?4，所以y0??33 9 故存在点PS使得?PAB与?PMN的面积相等，此时点P的坐标为
533(,?). 39
（2010四川理数）（20）（本小题满分12分）
已知定点A(－1，0)，F(2，0)，定直线l：x＝，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N （Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由.
本小题主要考察直线、轨迹方程、双曲线等基础知识，考察平面机袭击和的思想方法及推理运算能力.
w_w w. k#s5_u.c o*m12第 - 21 - 页 共 42 页 圆锥曲线
解：(1)设P(x,y)，则(x?2)?y?2|x?221| 2y2化简得x－=1(y≠0)………………………………………………………………4分
32
(2)①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y＝k(x－2)(k≠0)
y2与双曲线x－=1联立消去y得
32
w_w w. k#s5_u.c o*m(3－k)2x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0 由题意知3－k2≠0且△＞0 设B(x1,y1),C(x2,y2)，
?4k2x?x???12k2?3则?
2?xx?4k?312?k2?3?y1y2＝k2(x1－2)(x2－2)＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]
4k2?38k2?2 ＝k(2＋4)
k?3k?32
?9k2
＝2
k?3
w_w w. k#s5_u.c o*m因为x1、x2≠－1 所以直线AB的方程为y＝
y1(x＋1) x1?1因此M点的坐标为(
3y11) ,22(x1?1)?????????3y13y233FM?(?,),同理可得FN?(?,)
22(x1?1)22(x2?1)w_w w. k#s5_u.c o*m?????????9y1y232因此FM?FN?(?)?
22(x1?1)(x2?1)?81k224k?3 ＝? 24k?34k294(2?2?1)k?3k?3 ＝0
②当直线BC与x轴垂直时，起方程为x＝2，则B(2,3),C(2,－3)
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?????1333AB的方程为y＝x＋1,因此M点的坐标为(,)，FM?(?,)
2222????33同理可得FN?(?,?)
22?????????3233因此FM?FN?(?)??(?)＝0
222?????????综上FM?FN＝0，即FM⊥FN
w_w w. k#s5_u.c o*m故以线段MN为直径的圆经过点F………………………………………………12分
（2010天津文数）（21）（本小题满分14分）
x2y23已知椭圆2?2?1（a>b>0）的离心率e=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为ab24.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（-a，0）. （i）若|AB|=42，求直线l的倾斜角； 5???????? （ii）若点Q在线段AB的垂直平分线上，且QA?（0，y0）QB=4.求y0的值.
【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、
直线的倾斜角、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查综合分析与运算能力.满分14分.
（Ⅰ）解：由e=
c322222?，得3a?4c.再由c?a?b，解得a=2b. a2由题意可知
1?2a?2b?4，即ab=2. 2解方程组??a?2b,得a=2，b=1.
ab?2,?x2?y2?1. 所以椭圆的方程为4(Ⅱ)(i)解：由（Ⅰ）可知点A的坐标是（-2,0）.设点B的坐标为(x1,y1)，直线l的斜率为k.则直线l的方程为y=k（x+2）.
?y?k(x?2),?于是A、B两点的坐标满足方程组?x2消去y并整理，得 2??y?1.?4(1?4k2)x2?16k2x?(16k2?4)?0.
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4k16k2?42?8k2y?x?由?2x1?，得.从而. 111?4k21?4k21?4k2?2?8k2??4k?41?k2所以|AB|???2?. ???2?2?21?4k1?4k1?4k????4241?k242由|AB|?，得. ?251?4k5整理得32k?9k?23?0，即(k2?1)(32k2?23)?0，解得k=?1. 所以直线l的倾斜角为
4222?3?或.
44?8k22k?,（ii）解：设线段AB的中点为M，由（i）得到M的坐标为??. 22??1?4k1?4k?以下分两种情况：
（1）当k=0时，点B的坐标是（2,0），线段AB的垂直平分线为y轴，于是
????????????????QA???2,?y0?,QB??2,?y0?.由QA?QB?4，得y0??22。
2k1?8k2?（2）当k?0时，线段AB的垂直平分线方程为y?。 ???x?22?1?4kk?1?4k?6k。 21?4k????????由QA???2,?y0?，QB??x1,y1?y0?，
令x?0，解得y0???????????2?2?8k2?6k?4k6k? QA?QB??2x1?y0?y1?y0????22?22?1?4k1?4k?1?4k1?4k??4?16k4?15k2?1??1?4k?222?4，
14214。所以y0??。 75214 5整理得7k?2。故k??综上，y0??22或y0??
（2010天津理数）（20）（本小题满分12分）
x2y23已知椭圆2?2?1(a?b?0）的离心率e?，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为
ab2第 - 24 - 页 共 42 页 圆锥曲线
4。
（1） 求椭圆的方程；
（2） 设直线l与椭圆相交于不同的两点A,B，已知点A的坐标为（?a,0），点Q(0,y0)????????在线段AB的垂直平分线上，且QA?QB?4，求y0的值
【解析】本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质，直线的方程，平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算和推理能力，满分12分 （1）解：由e?由题意可知，
c322222，得3a?4c，再由c?a?b，得a?2b ?a21?2a?2b?4,即ab?2 2解方程组??a?2b 得 a=2,b=1
?ab?2x2?y2?1 所以椭圆的方程为4(2)解：由（1）可知A（-2,0）。设B点的坐标为（x1,,y1）,直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k(x+2),
?y?k(x?2)?于是A,B两点的坐标满足方程组?x2 2??y?1?4由方程组消去Y并整理，得(1?4k)x?16kx?(16k?4)?0
222216k2?4,得 由?2x1?21?4k2?8k24kx1?,从而y?, 11?4k21?4k28k22k,) 设线段AB是中点为M，则M的坐标为(?1?4k21?4k2以下分两种情况：
（1）当k=0时，点B的坐标为（2,0）。线段AB的垂直平分线为y轴，于是
QA?(?2,?y0),QB?(2,?y0）由QA?QB=4，得y0=?22 第 - 25 - 页 共 42 页 圆锥曲线
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