（2010山东文数）（22）（本小题满分14分）
x2y2如图，已知椭圆2?2?1 (a?b?0)过点.
ab
(1,22，左、右焦点分别为F)，离心率为1、
22F2.点P为直线l:x?y?2上且不在x轴上的任意
一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B 和C、D，O为坐标原点. （I）求椭圆的标准方程；
（II）设直线PF1、PF2的斜线分别为k1、k2.
（i）证明：
13??2； k1k2
（ii）问直线l上是否存在点P，使得直线OA、OB、OC、OD的斜率kOA、kOB、
kOC、kOD满足kOA?kOB?kOC?kOD?0？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不
存在，说明理由.
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（2010北京文数）（19）（本小题共14分）
已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(?2,0)，(2,0)，离心率是C交与不同的两点M，N，以线段为直径作圆P,圆心为P。 （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；
（Ⅲ）设Q（x，y）是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值。 解：（Ⅰ）因为
6，直线y=t椭圆3c6，且c?2，所以a?3,b?a2?c2?1 ?a3x2?y2?1 所以椭圆C的方程为3（Ⅱ）由题意知p(0,t)(?1?t?1)
?y?t?2x??3(1?t) 由?x2 得2??y?1?32所以圆P的半径为3(1?t)
解得t??33 所以点P的坐标是（0，?） 22222（Ⅲ）由（Ⅱ）知，圆P的方程x?(y?t)?3(1?t)。因为点Q(x,y)在圆P上。所以
y?t?3(1?t2)?x2?t?3(1?t2)
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设t?cos?,??(0,?)，则t?3(1?t)?cos??3sin??2sin(??当??
（2010北京理数）（19）（本小题共14分）
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?3，即t?1，且x?0，y取最大值2. 2在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于?1. 3(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；
(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。
（I）解：因为点B与A(?1,1)关于原点O对称，所以点B得坐标为(1,?1). 设点P的坐标为(x,y) 由题意得
y?1y?11??? x?1x?13 化简得 x2?3y2?4(x??1).
故动点P的轨迹方程为x2?3y2?4(x??1)
（II）解法一：设点P的坐标为(x0,y0)，点M，N得坐标分别为(3,yM),(3,yN). 则直线AP的方程为y?1?y0?1y?1(x?1)，直线BP的方程为y?1?0(x?1) x0?1x0?1令x?3得yM?4y0?x0?32y0?x0?3，yN?.
x0?1x0?1于是?PMN得面积
|x0?y0|(?3x02)1 S?PMN?|yM ?yN|(?30x?)22|x0?1|又直线AB的方程为x?y?0，|AB|?22， 点P到直线AB的距离d?于是?PAB的面积 S?PAB?|x0?y0|2.
1|AB|?d?|x0?y0| 2第 - 20 - 页 共 42 页 圆锥曲线