2011高考数学知识点一本全
（文理通用）
第一部分 集合
1. 集合中元素具有确定性、无序性、互异性. 2. 集合的性质：
①任何一个集合是它本身的子集，记为A?A； ②空集是任何集合的子集，记为??A； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果A?B，同时B?A，那么A = B. 如果A?B，B?C，那么A?C.
[注] ①Z= {整数}（√） Z ={全体整数} （×）
②已知集合S 中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集.（×）
（例：S=N； A=N?，则CsA= {0}） ③ 空集的补集是全集.
④若集合A=集合B，则CBA = ?， CAB = ? C（）= D （ 注 ：CAB = ?）. SCAB
3. ①{（x，y）|xy =0，x∈R，y∈R}坐标轴上的点集. ②{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R?二、四象限的点集. ③{（x，y）|xy＞0，x∈R，y∈R} 一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集.
例：
?x?y?3? 2x?3y?1? 解的集合{(2，1)}.
②点集与数集的交集是?.
（例：A ={(x，y)| y =x+1} B={y|y =x2+1} 则A∩B =?）
4. ①n个元素的子集有2n个.
②n个元素的真子集有2n －1个. ③n个元素的非空真子集有2n－2个.
5. ? ①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题?逆命题.
②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 例：①若a?b?5，则a?2或b?3应是真命题.
解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真.
— 1 — 高中数学知识点精析
②x?1且y?2， x?y?3. 解：逆否：x + y =3
?x?1且y?2x = 1或y = 2.
的既不是充分，
x?y?3,故x?y?3是x?1且y?2又不是必要条件.
?小范围推出大范围；大范围推不出小范围. 例：若x?5，?x?5或x?2.
6.De Morgan公式 CuA∩ CuB = Cu（A∪ B） CuA∪ CuB = Cu（A∩ B）
第二部分 函数 1. 函数的三要素：定义域，值域，对应法则. 2. 函数的单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的一部分. 对于具体的函数来说可能有单调区间，也可能没有单调区间，如果函数在区间（0，1）上为减函数，在区间（1，2）上为减函数，就不能说函数在上为减函数. （0，1）?（1，2）??y，函数y?3. 反函数定义：只有满足x??唯一f(x)才有反函数.
例：y?x2无反
函数.
函数y?f(x)的反函数记为x?f系，函数y?f(x)与它的反函数y[注]：一般地，f?1?1(y)，习惯上记为y?f?1?1(x). 在同一坐标
?f(x)的图象关于y?x?1对称.
(x?3)?f(x?3)的反函数. f(x?3)是先f(x)的反函数，在
左移三个单位.f(x?3)是先左移三个单位，在f(x)的反函数.
4. ?单调函数必有反函数，但并非反函数存在时一定是单调的.因此，所有偶函数不存在反函数.
?如果一个函数有反函数且为奇函数，那么它的反函数也为奇函数.
?设函数y = f（x）定义域，值域分别为X、Y. 如果y = f（x）在X上是增（减）函数，那么反函数y函数增减性相同.
?一般地，如果函数y?f(x)有反函数，且f(a)?b，那么f?1?f?1(x)在Y上一定是增（减）函数，即互为反函数的两个
(b)?a. 这就
?1是说点（a,b）在函数y?f(x)图象上，那么点（b,a）在函数y?f图象上.
5. 指数函数：y?a（a?0,a?1），定义域R，值域为（0,??）. ?①当a?1，指数函数：y?a在定义域上为增函数； x(x)的
xy=ax0＜a＜1▲yy=axa＞1 — 2 — 高中数学知识点精析 1xO
x②当0?a?1，指数函数：y?a在定义域上为减函数. x?当a?1时，y?a的a值越大，越靠近y轴；
当0?a?1时，则相反.
6. 对数函数：如果a（a?0,a?1）的b次幂等于N，就是ab叫做以a为底的N的对数，记作log其中a叫底数，N叫真数. ?对数运算：
loga(M?N)?loglogloglogalogaa?N，数b就
N?b（a?0,a?1，负数和零没有对数）；
M?logaaN(1)MaNMnn?logaM?loga??Na?nlog1nM?12)aaM??NlogaMN
a换底公式：log推论：log?loga1aN?bloglogbbNab?logc?logca?1a3?...?logan?1a2?loga2an?loga1an（以上M?0,N?0,a?0,a?1,b?0,b?1,c?0,c?1,a1,a2...an?0且?1） 注?：当a,b?0时，log(a?b)?log(?a)?log(?b). ?：当M?0时，取“+”，当n是偶数时且M?0时，Man?0，而M?0，故取“—”.
2例如：logax?2logax?(2logax中x＞0而logx2中x∈R）.
?y?ax（a?0,a?1）与y?logax互为反函数.
当a?1时，y?logax的a值越大，越靠近x轴；当0?a?1时，则相反. 7. 奇函数，偶函数： ?偶函数：f(?x)?f(x)
设（a,b）为偶函数上一点，则（?a,b）也是图象上一点.
— 3 — 高中数学知识点精析
偶函数的判定：两个条件同时满足 ①定义域一定要关于y轴对称，例如：y?x2?1在[1,?1)上不是偶函数.
f(x)f(?x)?1.
②满足f(?x)?f(x)，或f(?x)?f(x)?0，若f(x)?0时，?奇函数：f(?x)??f(x)
设（a,b）为奇函数上一点，则（?a,?b）也是图象上一点. 奇函数的判定：两个条件同时满足 ①定义域一定要关于原点对称，例如：y?x3在[1,?1)上不是奇函数.
f(x)f(?x)??1.
②满足f(?x)??f(x)，或f(?x)?f(x)?0，若f(x)?0时，
y轴对称??y?f（?x）8. 对称变换：①y = f（x）??? x轴对称??y??f（x） ②y =f（x）???????③y =f（x）?原点对称y??f（?x）
9. 判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：
（x1?x2）(x1?x2) 2222f(x1)?f(x2)?x1?b?x2?b?2222 xx?b?x1?b在进行讨论.
10. 外层函数的定义域是内层函数的值域. 例如：已知函数f（x）= 1+
x1?x的定义域为A，函数f[f（x）]的定义域是B，则
集合A与集合B之间的关系是 B ? A . 解：f(x)的值域是故B?A.
11. 常用变换： ①
f(x?y)?f(x)f(y)?f(x?y)?f(x)f(y)f(f(x))的定义域B，f(x)的值域?R，故B?R，而A??x|x?1?，
.
证：
f(x?y)?f(y)f(x)?f(x)?f[(x?y)?y]?f(x?y)f(y)
②
f(xy)?f(x)?f(y)?f(x?y)?f(x)?f(y)
— 4 — 高中数学知识点精析
证：
f(x)?f(xy?y)?f(xy)?f(y)
12. ?熟悉常用函数图象：
|x|例：y?2→|x|关于y轴对称.
▲?1?y????2?▲|x?2|?1??1?y???y???→→
?2??2?|x|▲|x?2|
yyy(-2,1)(0,1)xxx
y?|2x2
?2x?1|→|y|关于x轴对称.
▲yx▲
?熟悉分式图象： 例：y?2x?1x?3?2?7x?3?2y定义域{x|x?3,x?R}，
x3值域{y|y?2,y?R}→值域?x前的系数之比.
第三部分 直线和圆
一、直线方程.
1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范
??围是0???180(0????).
?注：①当??90或x2?x1时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在.
②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定. 2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式. 特别地，当直线经过两点(a,0),(0,b)，即直线在x轴，
a,b(a?0,b?0)时，直线方程是：
xa?yb?1.
y轴上的截距分别为
— 5 — 高中数学知识点精析