n项和可依照等比数列前
12,314,...(2n?1)12nn项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：
1?,...
?两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差d1，d2的最小公倍数.
第七部分 不等式
1. ?平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数）：
a?b222?a?b2?ab?21a?1b2（当a = b时取等）
特别地，ab?(a?b?c3222a?b2)?22a?b22（当a = b时，(a?b2)?2a?b222?ab）
?a??b?c????(a,b,c?R,a?b?c时取等)3??
2?幂平均不等式：a12?a22?...?an2?1n(a1?a2?...?an)
?含立方的几个重要不等式（a、b、c为正数）：
①a3?b3?a2b?ab2
②a3?b3?c3?3abc?(a?b?c)(a2?b2?c2?ab?ac?bc)
?a?b?c?3abca?b?c313333（a?b?c?0等式即可成立，a?b?c或a?b?c?0时取等）；
3333abc?a?b?c?3a?b?c?abc?????33??
ab?ba?ac?(a??b?c)2（a?b?c时取等）
?绝对值不等式：
a1?a2?a3?a1?a2?a3a?b?a?b?a?b(ab?0时,取等)
a1?a2???ann?算术平均≥几何平均（a1、a2…an为正数）：（a1=a2…=an时取等）
?柯西不等式：设ai,bi?R(i?1,2,?,n),则
?na1a2?an(a1b1?a2b2???anbn)?(a1?a2???an)(b1?b2???bn)
— 21 — 高中数学知识点精析
2222222
等号成立当且仅当
a1b1?a2b2???anbn时成立.（约定ai?0时，bi?0）
例如：(ac?bd)2?(a2?b2)(c2?d2). ?常用不等式的放缩法：①1?n1n?1?1n(n?1)?1n2?1n(n?1)?1n?1?1n(n?2)
②n?1?n?1n?n?1?12n?1n?n?1?n?n?1(n?1)
2. 常用不等式的解法举例（x为正数）： ①x(1?x)②y?2?122?2x(1?x)(1?x)?221234()?23272
x(1?x)?y?22x(1?x)(1?x)2?123423()??y?23279类似于y?sinxcos2x?sinx(1?sin2x) ③|x?1|?|x|?|1|(x与1同号，故取等)?2
xxx
第八部分 导数
1. 导数（导函数的简称）的定义：设x0是函数y?f(x)定义域的一点，如果自变
量x在x0处有增量?x，则函数值y也引起相应的增量?y??y?x?f(x0??x)?f(x0)?x?y?x?lim?x?0f(x0??x)?f(x0)；比值
称为函数y?f(x)在点x0到x0??x之间的平均变化率；如果极
f(x)在点x0f(x0)'限
lim?x?0f(x0??x)?f(x0)?x存在，则称函数y?处可导，并把这个或
y|x?x'0极限叫做
f(x0)=lim'y?f(x)在
x0处的导数，记作
.
，即
?y?x?lim?x?0f(x0??x)?f(x0)?x?x?0注：①?x是增量，我们也称为―改变量‖，因为?x可正，可负，但不为零. ②以知函数y?2. 函数y??函数y?f(x)定义域为A，y?f(x)'的定义域为B，则A与B关系为A?B.
f(x)在点x0处连续与点x0处可导的关系：
f(x)在点x0f(x)在点x0处连续是y?处可导的必要不充分条件.
f(x)点x0可以证明，如果y?f(x)在点x0处可导，那么y?处连续.
— 22 — 高中数学知识点精析
事实上，令x?x0于是
x?x0??x，则x?x0相当于?x?0.
f(x0)?f(x0)?0?f(x0)?f(x0).'limf(x)?limf(x0??x)?lim[f(x?x0)?f(x0)?f(x0)]?x?0?x?0?lim[?x?0f(x0??x)?f(x0)?x??x?f(x0)]?limf(x0??x)?f(x0)?x?lim?lim?x?0?x?0?x?0?如果y?例：
f(x)点x0处连续，那么y?f(x)在点x0?0处可导，是不成立的.
?x?|?x|?xf(x)?|x|在点x0?0?1；当?x处连续，但在点x0?x处不可导，因为?y不存在.
，当?x＞
0时，?y?x＜0时，?y??1，故lim?x?0?y?x注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义： 函数y?f(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线y?f(x)在点
f(x)在点(x0,f(x))处的切线
的斜率，也就是说，曲线y?方程为y?y0?f(x)(x?x0).
'P(x0,f(x))处的切线的斜率是f'(x0)，切线
4. 求导数的四则运算法则：
(u?v)?u?v?y?f1(x)?f2(x)?...?fn(x)?y?f1(x)?f2(x)?...?fn(x)(uv)?vu?vu?(cv)?cv?cv?cv''''''''
'''''''（c为常数）
vu?vu?u?(v?0) ???2v?v?''注：①u,v必须是可导函数.
②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它
们的和、差、积、商不一定不可导. 例如：设和
f(x)?2sinx?2x，g(x)?cosx?2x，则f(x),g(x)在x?0处均不可导，但它们
f(x)?g(x)?
sinx?cosx在x?0处均可导.
fx(?(x))?f(u)?(x)'''5. 复合函数的求导法则：或y'x?y'u?u'x
复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形. 6. 函数单调性：
?函数单调性的判定方法：设函数y?f(x)在某个区间内可导，如果f(x)'＞0，则
— 23 — 高中数学知识点精析
y?f(x)为增函数；如果f(x)'＜0，则y?f(x)为减函数.
?常数的判定方法； 如果函数y?f(x)在区间I内恒有
f(x)'=0，则y?f(x)为常数.
注：①f(x)?0是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如y?2x3在(??,??)上并不是都有
f(x)?0，有一个点例外即x=0时f（x） = 0，同样f(x)?0是f（x）
递减的充分非必要条件. ②一般地，如果f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的. 7. 极值的判别方法：（极值是在x0附近所有的点，都有函数
f(x)的极大值，极小值同理） f(x)在点x0f(x)＜f(x0)，则f(x0)是
当函数处连续时，
f(x)''①如果在x0附近的左侧②如果在x0附近的左侧
＞0，右侧＜0，右侧
f(x)''＜0，那么f(x0)是极大值； ＞0，那么f(x0)是极小值.
f(x)'f(x)f(x)也就是说x0是极值点的充分条件是x0点两侧导数异号，而不是
=0①. 此外，
函数不可导的点也可能是函数的极值点②. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.
注①： 若点x0是可导函数
f(x)的极值点，则
f(x)'=0. 但反过来不一定成立. 对
于可导函数，其一点x0是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零. 例如：函数y?f(x)?x3，x?0使
f(x)'=0，但x?0不是极值点.
②例如：函数y?f(x)?|x|，在点x?0处不可导，但点x?0是函数的极小值点.
8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.
注：函数的极值点一定有意义. 9. 几种常见的函数导数： I.C'n?0'（C为常数）
n?1(sinx)?cosx
''
(x)?nx（n?R） (coxs)??sinx
— 24 — 高中数学知识点精析
II.
x(lnx)?'x'1x
(loagx)?x'x'1xlogae
(e)?e
(a)?alna
III. 求导的常见方法： ①常用结论：(ln②形如
|x|)?'1x.
(x?a1)(x?a2)...(x?an)(x?b1)(x?b2)...(x?bn)y?(x?a1)(x?a2)...(x?an)或y?两边同取自然对数，可
转化求代数和形式. ③无理函数或形如y?对两边求导可得
yy'xx这类函数，如y?1x'xx取自然对数之后可变形为ln'xxy?xlnx，
?lnx?x??y?ylnx?y?y?xlnx?x
第九部分 立体几何 一、 平面.
1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面.
注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内.
2. 两个平面可将平面分成3或4部分.（①两个平面平行，②两个平面相交） 3. 过三条互相平行的直线可以确定1或3个平面.（①三条直线在一个平面内平行，②三条直线不在一个平面内平行）
[注]：三条直线可以确定三个平面，三条直线的公共点有0或1个. 4. 三个平面最多可把空间分成 8 部分.（X、Y、Z三个方向） 二、 空间直线.
1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且有一个公共点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内
[注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×）（可能两条直线平行，也可能是点和直线等）
②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交
③若直线a、b异面，a平行于平面?，b与?的关系是相交、平行、在平面?内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点. ⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形）
⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×）（并非是从平面外一点向这．．个平面所引的垂线段和斜线段）
⑦a,b是夹在两平行平面间的线段，若a?b，则a,b的位置关系为相交或平行或异面.
2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线） 3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
— 25 — 高中数学知识点精析