离心率 焦半径 注：①ay2e?1 PF?p2?x1 4ac?b4a2PF?b2aP2p2?x1 PF?p2?y1 PF?p2?y1 ?by?c?x顶点(?).
;x2?2py(p?0)则焦点半径为
PF?y?P2②y2?2px(p?0)则焦点半径PF?x?.
③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的. ④
?x?2pt2y?2px（或x?2py）的参数方程为??y?2pt22（或??x?2pt?y?2pt2）（t为参数）.
四、圆锥曲线的统一定义..
4. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹.
当0?e?1时，轨迹为椭圆； 当e?1时，轨迹为抛物线； 当e?1时，轨迹为双曲线； 当e?0时，轨迹为圆（e?ca，当c?0,a?b时）.
5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.
因为具有对称性，所以欲证AB=CD, 即证AD与BC的中点重合即可.
第十一部分 复数
1. ?复数的单位为i，它的平方等于－1，即i2??1. ?复数及其相关概念： ① 复数—形如a + bi的数（其中a，b?R）； ② 实数—当b = 0时的复数a + bi，即a； ③ 虚数—当b?0时的复数a + bi； ④ 纯虚数—当a = 0且b?0时的复数a + bi，即bi. ⑤ 复数a + bi的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数） ⑥ 复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示. ?两个复数相等的定义：
a?bi?c?di?a?c且b?d（其中，a，b，c，d，?R）特别地a?bi?0?a?b?0. ?两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小. 注：①若z1,z2为复数，则1?若z1?z2实数]
2??0，则z1??z2.（×）[z1,z2为复数，而不是
若z1?z2，则z1?z2?0.（√）
— 36 — 高中数学知识点精析
②若
(a?b)a,b,c?C，则(a?b)2?(b?c)?(c?a)22?0是a?b?c的必要不充分条件.（当
2?i2，
2(b?c)2?1,(c?a)?0时，上式成立）
2. ?复平面内的两点间距离公式：d?z1?z2.
其中z1，z2是复平面内的两点z1和z2所对应的复数，d表示z1和z2间的距离. 由上可得：复平面内以z0为圆心，r为半径的圆的复数方程：
3. 共轭复数的性质：
z?zz?z0?r（r?0）.
（z?a + bi）
z1?z2?z1?z222
z?z?2a，z?z?2biz1?z2?z1?z2 ?z?z?1??1?z?z2?2?z?z?|z|?|z|
z1?z2?z1?z2（z2?0）
zn?(z)n
注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]
?4. ?①复数的乘方：zn??z??z??z?...z(n?N) ?n②对任何z，z1,z2?C及m,n?N?有 ③zm?zn?zm?n,(zm)n?zm?n,(z1?z2)n?zn1?zn2
注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如
1241i??1,i?1若由i?(i)2?12?1就会得到?1?1的错误结论.
24②在实数集成立的|x|?用两边平方法. ?常用的结论：
i??1,inn?124n?1x2. 当x为虚数时，|x|?x2，所以复数集内解方程不能采
?i,i4n?2??1,i4n?3??i,i4n?1
i?i?in?2?in?3?0,(n?Z)1?i1?i
(1?i)??2i,21?i1?i?i,??i — 37 — 高中数学知识点精析
若
?是1的立方虚
3数
2根
1，即
2???n12n?1?32n?2i，
?????0,??????0(n?Z)则 ? , 1 . 5. ?复数z是实数及纯虚数的充要条件： ①z?R?z?z.
②若z?0，z是纯虚数?z?z?0.
?模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零.
??1,???,??注：|z|?|z|.
第十二部分 概率与统计（部分内容文科不作要求，请参考文科教材） 一、概率.
1. 概率：随机事件A的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值. 2. 等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有年n个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是，如果某个事件A
n1包含的结果有m个，那么事件A的概率P(A)?mn.
3. ①互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生(即A、B中有一个发生)的概率，等于事件A、B分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推广：P(A1?A2???An)?P(A1)?P(A2)???P(An).
②对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件. 例如：从1～52张．．．．．．．．．．．．．．．扑克牌中任取一张抽到―红桃‖与抽到―黑桃‖互为互斥事件，因为其中一个不可能同时发生，但又不能保证其中一个必然发生，故不是对立事件.而抽到―红色牌‖与抽到黑色牌―互为对立事件，因为其中一个必发生.
互斥注意：i.对立事件的概率和等于1：P(A)?P(A)?P(A?A)?1.
对立ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件. ③相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件. 如果两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A·B)=P(A)·P(B). 由此，当两个事件同时发生的概率P（AB）等于这两个事件发生概率之和，这时我们也可称这两个事件为独立事件.例如：从一副扑克牌（52张）中任抽一张设A：―抽到老K‖；B：―抽到红牌‖则 A应与B互为独立事件[看上去A与B有关系很有可能不是独立事件，但P(A)?452?113,P(B)?2652?12,P(A)?P(B)?126.又事件AB表示―既抽到老K对抽到红牌‖
252?126即―抽到红桃老K或方块老K‖有P(A?B)?，因此有P(A)?P(B)?P(A?B).
推广：若事件A1,A2,?,An相互独立，则P(A1?A2?An)?P(A1)?P(A2)?P(An). 注意：i. 一般地，如果事件A与B相互独立，那么A 与B,A与B，A与B也都
— 38 — 高中数学知识点精析
相互独立.
ii. 必然事件与任何事件都是相互独立的. iii. 独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多个事件不能同时发生，故这些事件相互之间必然影响，因此互斥事件一定不是独立事件. ④独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率：P4. 对任何两个事件都有P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A?B)
二、随机变量.
1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件： ①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果. 它就被称为一个随机试验.
2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a，b是常数.则
??a??b也是一个随机变量.一般地，若
n(k)?CnP(1?P)kkn?k.
ξ是随机变量，f(x)是连续函数或单调函
数，则
f(?)也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.
设离散型随机变量ξ可能取的值为：x1,x2,?,xi,? ξ取每一个值x1(i?1,2,?)的概率P(?简称ξ的分布列. ? x1 p1 P x2 p2?xi)?pi，则表称为随机变量
ξ的概率分布，
… … xi pi … … 有性质①p1?0,i?1,2,?； ②p1?p2???pi???1.
注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：??[0,5]即?可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数. 3. ?二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复
P(ξ?k)试验中这个事件恰好发生k次的概率是：
?Cnpqkkn?k[其中k?0,1,?,n,q?1?p]
于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作?～B（n·p），其中n，p为参数，并记Cknpqkn?k?b(k;n?p).
?二项分布的判断与应用. ①二项分布，实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立
— 39 — 高中数学知识点精析
重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布. ②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列. 4. 几何分布：―??k‖表示在第k次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k
Ak次试验时事件A发生记为
P(ξ?k)?P(A1A2?Ak?1Ak)，事A不发生记为
Ak,P(Ak)?q，那么
.根据相互独立事件的概率乘法分式：
k?1?qP(ξ?k)?P(A1)P(A2)?P(Ak?1)P(k)Ap(k?1,2,3,?)于是得到随机变量ξ的概率分布列.
… …
? P 1 q 2 qp 3 qp 2… … pk qk?1p 我们称ξ服从几何分布，并记g(k,p)?qk?1，其中q?1?p.k?1,2,3?5. ?超几何分布：一批产品共有N件，其中有M（M＜N）件次品，今抽取n(1?n?N)件，则其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为
P(ξ?k)?CM?CN?MCnNkn?k?(0?k?M,0?n?k?N?M).〔分子是从M件次品中取k件，从N-M
件正品中取n-k件的取法数，如果规定m＜r时Cmr?0，则k的范围可以写为k=0，1，…，n.〕 ?超几何分布的另一种形式：一批产品由 a件次品、b件正品组成，今抽取n件（1≤n≤a+b），则次品数ξ的分布列为P(ξ?k)?Ca?CCkn?kbna?bk?0,1,?,n..
?超几何分布与二项分布的关系.
设一批产品由a件次品、b件正品组成，不放回抽取n件时，其中次品数ξ服从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数?的分布列可如下求得：把a?b个产品
kn?k编号，则抽取n次共有(a?b)n个可能结果，等可能：(η?k)含Ck个结果，故nabP(η?k)?Cnabkkn?kn(a?b)?Cn(kaa?b)(1?kaa?b)n?k,k?0,1,2,?,n，即?～B(n?aa?b).[我们先为k个
次品选定位置，共Ckn种选法；然后每个次品位置有a种选法，每个正品位置有b种选法] 可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，P(ξ?k)?P(η?k)，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样. 三、数学期望与方差.
— 40 — 高中数学知识点精析