注：①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线.（×） [当b?0时，不成立] ②向量a,b,c共面即它们所在直线共面.（×） [可能异面]
③若a∥b，则存在小任一实数?，使a??b.（×）[与b?0不成立] ④若a为非零向量，则0?a?0.（√）[这里用到?b(b?0)之积仍为向量] （2）共线向量定理：对空间任意两个向量a,b(b?0)，a ∥b的充要条件是存在实数?（具有唯一性），使a??b.
（3）共面向量：若向量a使之平行于平面?或a在?内，则a与?的关系是平行，记作a∥?.
（4）①共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，则向量P与向量a,b共面的充要条件是存在实数对x、y使P?xa?yb.
?xOA?yOB?zOC(x?y?z?1)②空间任一点、B、C，则OP．．．O．和不共线三点．．．．．．A．．．．．四点共面的充要条件.（简证：OP是PABCP、A、?(1?y?z)OA?yOB?zOC?AP?yAB?zAC?B、C四点共面）
注：①②是证明四点共面的常用方法.
2. 空间向量基本定理：如果三个向量，那么对空间任一向量P，存．．．．a,b,c不共面．．．在一个唯一的有序实数组x、y、z，使p?xa?yb?zc.
推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P, 都存在唯一的有序实数组x、y、z使
OP?xOA?yOB?zOC(这里隐含x+y+z≠1). 其
BA注：设四面体ABCD的三条棱，
DAB?b,AC?c,AD?d,GM中Q是△BCD的重心，则向量AQ?13(a?b?c)用AQ?AM?MQ即证. C3. （1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对应为纵轴），z轴是竖轴（对应为竖坐标）. ①令a=(a1,a2,a3),b?(b1,b2,b3)，则
a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3)?a?(?a1,?a2,?a3)(??R)a?b?a1b1?a2b2?a3b3
— 31 — 高中数学知识点精析
a∥b?a1??b1,a2??b2,a3??b3(??R)a?a?a21?a1b1?a2b2?a3b3
a?b?a1b1?a2b2?a3b3?0
a?2?a22?a23(用到常用的向量模与向量之间的转化：
a?a?a?a?a?a) a1b1?a2b2?a3b32a1??cos?a,b????a?b???|a|?|b|
?2b3?2a2?2a3?2b1?2b2②空间两点的距离公式：d?(x2?x1)?(y2?y1)?(z2?z1)222.
（2）法向量：若向量a所在直线垂直于平面?，则称这个向量垂直于平面?，记作a??，如果a??那么向量a叫做平面?的法向量.
（3）用向量的常用方法：
①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面?的法向量，AB是平面?的一条射线，其中A??，则点B到平面?的距离为|AB?n||n|.
②利用法向量求二面角的平面角定理：设n1,n2分别是二面角??l??中平面?,?的法向量，则n1,n2所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（n1,n2方向相同，则为补角，n1,n2反方，则为其夹角）.
③证直线和平面平行定理：已知直线a??平面?，A?B?a,C?D??，且CDE三点不共线，则a∥?的充要条件是存在有序实数对???使ABAB??CD??CE??CD??CE.（常设
求解?,?若?,?存在即证毕，若?,?不存在，则直线AB与平面相
交）.
第十部分 圆锥曲线 （本部分参考08大纲，部分内容09不做要求） 一、椭圆方程.
1. 椭圆方程的第一定义：
PFPFPF111?PF?PF?PF222?2a?F1F2方程为椭圆,?2a?F1F2无轨迹,?2a?F1F2以F1,F2为端点的线段
?①椭圆的标准方程：
— 32 — 高中数学知识点精析
i. 中心在原点，焦点在x轴上：xaya2222?yb22?1(a?b?0). ii. 中心在原点，焦点在y轴上：
?xb22?1(a?b?0).
2②一般方程：Ax为??x?acos??y?bsin??By?1(A?0,B?0).③椭圆的标准参数方程：2xa22?yb22?1的参数方程
（一象限?应是属于0????2）.
?①顶点：(?a,0)(0,?b)或(0,?a)(?b,0).②轴：对称轴：x轴，y轴；长轴长2a，短轴长2b.③焦点：(?c,0)(c,0)或(0,?c)(0,c).④焦距：F1F2或y??a2?2c,c?a?b22.⑤准线：x??a2cc.⑥离心率：e?xa22ca22焦点半径： (0?e?1).⑦
?1(a?b?0)上的一点，F1,F2i. 设P(x0,y0)为椭圆
?yb为左、右焦点，则
PF1由椭圆方程的第二定义可以推出. ii.设P(x0,y0)为椭圆
xb22?a?ex0,PF2?a?ex0??a?ey0??ya22?1(a?b?0)上的一点，F1,F2PF1?a?ey 为上、下焦点，则0,PF2由椭圆方程的第二定义可以推出. 由椭圆第二定义可知：来为―左加右减‖.
注意：椭圆参数方程的推导：得N(acos?,bsin?)?方程的轨迹为椭圆. ⑧通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：d?共离心率的椭圆系的方程：椭圆
e?ca(c?a?b)22pF1?e(x0?a2c)?a?ex0(x0?0),pF2?e(a2c?x0)?ex0?a(x0?0)归结起▲y(bcos?,bsin?)(acos?,asin?)Nx?2ba22(?c,b2a)和(c,b2a)
N的轨迹是椭圆xa22?yb22?1(a?b?0)的离心率是
ca，方程
2222xa22?yb22?t(t是大于0的参数，a?b?0)的离心率也是e?
我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. ?若P是椭圆：
?xa?yb?1上的点.F1,F2为焦点，若?F1PFPF12??，则?PF1F2的面积
?2为b2tan（用余弦定理与
2?PF2?2a可得）. 若是双曲线，则面积为b2?cot.
二、双曲线方程.
1. 双曲线的第一定义：
PFPFPF111?PF?PF?PF222?2a?F1F?2a?F1F?2a?F1F222方程为双曲线无轨迹以F1,F2的一个端点的一条射线
— 33 — 高中数学知识点精析
?①双曲线标准方程：
Ax?Cy?1(AC?0).
22xa22?yb22?1(a,b?0),ya22?xb22?1(a,b?0). 一般方程：
?①i. 焦点在x轴上：
顶点：(a,0),(?a,0) 焦点：(c,0),(?c,0) 准线方程x??xa22a2c 渐近线方程：xa?yb?0或
?yb22?0
ii. 焦点在y轴上：顶点：(0,?a),(0,a). 焦点：(0,c),(0,?c). 准线方程：y近线方程：
ya?xb?0或
ya22??a2c. 渐
?xb22?0，参数方程：??x?asec??y?btan?或??x?btan??y?asec? .
ca②轴x,y为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率e?线距
2ac2. ④准
（两准线的距离）；通径
xa222ba2. ⑤参数关系c2?a2?b2,e?2ca. ⑥焦点半径
公式：对于双曲线方程曲线的上下焦点） “长加短减”原则：
MFMF12?yb22?1（F1,F分别为双曲线的左、右焦点或分别为双
?ex0?a?ex0?a 构成满足MF1?MF2?2a
▲M?F1??ex0?aM?F2??ex0?a（与椭圆焦半径不同，椭圆
▲焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号） yyMFMF12?ey0?a?ey0?a0M'MF1MM?F1??eyM?F2???a?a
xF1F2M'F2x??ey0?等轴双曲线：双曲线x2?y2??a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为y率e?2??x，离心
.
2222?共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.近线：
xa22xa?yb??与
xa22?yb22???互为共轭双曲线，它们具有共同的渐
?yb22?0.
xa22?共渐近线的双曲线系方程：
?yb22??(??0)的渐近线方程为
xa22?yb22?0如果双
▲y — 34 — 高中数学知识点精析 3421xF153F23
曲线的渐近线为
xa?yb?0时，它的双曲线方程可设为
xa22?yb22??(??0).
例如：若双曲线一条渐近线为y?解：令双曲线的方程为：
x2212x且过p(3,?12)，求双曲线的方程？
12)4?y??(??0)，代入(3,?得
x28?y22?1.
?直线与双曲线的位置关系：
区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；
区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条； 区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；
区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；
区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线. 小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条. （2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入“?”法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号. ?若P在双曲线
xa22?yb22?1，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P到两
准线的距离比为m︰n.
PF1简证：
d1d2?ePFe2 =
mn.
常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b. 三、抛物线方程. 3. 设p 图形 ?0，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：
y?2px▲2 y??2px2 ▲xy2?2py x??2py2 ▲y▲yyxOxOxOOx 焦点 准线 范围 对称轴 顶点 F(p2,0)p2 F(?p2,0) F(0,p2) y F(0,?p2p2) x x??x?p2 y??p2y? x?0,y?Rx?0,y?Rx?R,y?0x?R,y?0轴 轴 （0，0） — 35 — 高中数学知识点精析