1图
注意：在△ABC中，若0为重心，则OA?OB?OC?0，这是充要条件. ⑥平移公式：若点
?P?x,y?按向量a=?h,k?平移到P
‘?x,y?'''??x?x?h，则?'??y?y?k
4. ?正弦定理：设△ABC的三边为a、b、c，所对的角为A、B、C，则
asinA?bsinB?csinC?2R.
?a2?b2?c2?2bccosA?222?余弦定理：??b?a?c?2accosB?222c?b?a?2abcosC??A?B2A?B2
?正切定理：a?ba?btan?tan
?三角形面积计算公式：
设△ABC的三边为a，b，c，其高分别为ha，hb，hc，半周长为P，外接圆、内切圆的半径为R，r.
①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc ②S△=Pr ③S△=abc/4R ④S△=1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA ⑤S△=
P?P?a??P?b??P?c?
[海伦公式]
⑥S△=1/2（b+c-a）ra[如下图]=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb
[注]：到三角形三边的距离相等的点有4个，一个是内心，其余3个是旁心.
如图： 图1中的I为S△ABC的内
A心， S△=Pr
c D F b A 图2中的I为S△ABC的一
cI个旁心，S△=1/2
CBbaEO（b+c-a）ra
A C a B
E F
图2 C 图3
NB图4
附：三角形的五个“心”； 重心：三角形三条中线交点.
外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点.
旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.
AcbBaECDraFraraI — 16 — 高中数学知识点精析
?已知⊙O是△ABC的内切圆，若BC=a，AC=b，AB=c [注：s为△ABC的半周长,即
a?b?c2]
则：①AE=s?a=1/2（b+c-a） ②BN=s?b=1/2（a+c-b） ③FC=s?c=1/2（a+b-c）
综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边（如图4）. 特例：已知在Rt△ABC，c为斜边，则内切圆半径r=a?b?c2?aba?b?c（如图3）.
?在△ABC中，有下列等式成立tan证明：因为A?B??论！
A?tanB?tanC?tanAtanBtanC.
??tanC?C,所以tan?A?B??tan???C?，所以
tanA?tanB1?tanAtanB，?结
?在△ABC中，D是BC上任意一点，则AD证明：在△ABCD中，由余弦定理，有AD2?在△ABC中，由余弦定理有cos可得，AD2222?AC22BD?ABBCBC22?BD?DC.
AAB?BD?2?AB?BDcosB?2①
B?AB?BC?AC2AB?BC?②，②代入①，化简
?AC2BD?ABBCBC2?BD?DC（斯德瓦定理）
B2图5DC①若AD是BC上的中线，ma②若AD是∠A的平分线，ta③若AD是BC上的高，ha?△ABC的判定：
c?a?b?2?122b?c2b?2c2?a2；
，其中p为半周长； ，其中p为半周长.
?2abc?p?p?a??p?p?a??p?b??p?c?222△ABC为直角△?∠A + ∠B =?
2c＜a2?b2?△ABC为钝角△?∠A + ∠B＜＞a2?b2?△ABC为锐角△?∠A + ∠B＞
a?b?c2ab222?2
?0?a?b?c?0,?a?b?c222222c2?2附：证明：cosC?，得在钝角△ABC中，cosC
?平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和.
a?b?a?b?2(a?b)
2222
第六部分 数列
— 17 — 高中数学知识点精析
1. ?等差、等比数列： 等差数列 an?1?an?d 定义 递推公式 通项公式 中项 an?an?1?d等比数列 an?1an?q(q?0) ?amqn?m；an ?am?n?md an?an?1qan?a1qG??；an an?a1?(n?1)dn?1（a1,q?0） A?an?k?an?k2an?kan?k(an?kan?k?0)（n,k?N*,n?k?0） 前n项和 Sn?n2(a1?an)（n,k?N*,n?k?0） ?na1(q?1)?Sn??a1?qna1?anq1?(q?2)?1?q1?q? dSn?na1?n(n?1)2?? 重要性 质 *am?an am?an?ap?aq(m,n,p,q?N, m?n?p?q)?看数列是不是等差数列有以下三种方法： ①an?an?1?d(n?2,d为常数)?an?1?an?1(n?2)
?ap?aq(m,n,p,q?N,m?n?p?q)*
②2an③an?kn?b(n,k为常数).
?看数列是不是等比数列有以下四种方法： ①an2②an?an?1q(n?2,q为常数,且?0)
?an?1?an?1(n?2，anan?1an?1?0)
b?ac①
注①：i. 列. ii. iii. iv.
b?ac，是a、b、c成等比的双非条件，即b?aca、b、c等比数
（ac＞0）→为a、b、c等比数列的充分不必要. →为a、b、c等比数列的必要不充分. 且ac?0→为
b??acb??aca、b、c等比数列的充要.
注意：任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个.
— 18 — 高中数学知识点精析
③an?cqn(c,q为非零常数).
an④正数列{an}成等比的充要条件是数列{logx}（x?1）成等比数列.
?s1?a1(n?1)???sn?sn?1(n?2)?数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系：an[注]： ①an?a1??n?1?d?nd??a1?d?（d
可为零也可不为零→为等差数列充要条件
d2（即常数列也是等差数列）→若d不为0，则是等差数列充分条件）. ②等差{an}前n项和Sn?d??d?2?2An?Bn???n??a1??n2??2?? →可以为零也可不为零→
为等差的充要条件→若d为零，则是等差数列的充分条件；若d不为零，则是等
差数列的充分条件. ③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比．．数列）
2. ①等差数列依次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k2倍
Sk,S2k?Sk,S3k?S2k...；
②若等差数列的项数为2n?n?N??，则S偶?S奇?nd，S奇S偶?anan?1；
奇③若等差数列的项数为2n?1?n?N??，则S2n?1??2n?1?an，且S奇?S偶?an，S
.
n?n?1?3. 常用公式：①1+2+3 ?+n =
?代入n到2n?1得到所求项数S偶?nn?1
2②12?22?32??n2?n?n?1??2n?1?62
?n?n?1??③13?23?33?n3???2??
an?10n[注]：熟悉常用通项：9，99，999，…? 5，55，555，…?an??1；
59?10n?1?.
4. 等比数列的前n项和公式的常见应用题：
?生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为a，年增长率为r，则每年的产量成等比数列，公比为1?r. 其中第n年产量为a(1?r)n?1，且过n年后总产量为：
a?a(1?r)?a(1?r)?...?a(1?r)2n?1?a[a?(1?r)]1?(1?r)n.
?银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存a元，利息为r，每月利息按复利计算，则每月的a元过n个月后便成为a(1?r)n元. 因此，第二年
— 19 — 高中数学知识点精析
年初可存款：
a(1?r)12?a(1?r)11?a(1?r)10?...?a(1?r)=
a(1?r)[1?(1?r)1?(1?r)12].
?分期付款应用题：a为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清；r为年利率.
a?1?r?m?x?1?r?m?1?x?1?r?m?2?......x?1?r??x?a?1?r?m?x?1?r?rm?1?x?ar?1?r?m?1?r?m
?15. 数列常见的几种形式： ?an?2?pan?1?qan（p、q
为二阶常数）?用特证根方法求解.
Px?q（x2具体步骤：①写出特征方程x2?对应an?2，x对应an?1），并设二根x1,x2②
若x1?x2可设an.?c1xn1?c2xn，若x1?x2可设an?(c1?c2n)xn1；③由初始值a1,a2确定2c1,c2.
?an?Pan?1?r（P、r为常数）?用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n转化为an?2?Pan?1?qan的形式，再用特征根方法求an；④an?c1?c2Pn?1（公式法），c1,c2由a1,a2确定.
①转化等差，等比：an?1?x?P(an?x)?an?1?Pan?Px?x?②选代法：an?Pan?1?r?P(Pan?2?r)?r???an?(a1??Pn?1x?rP?1?.
?(a1?x)Pn?1rP?1)Pn?1rP?1?x
a1?Pn?2?r???Pr?r.
（Pn?1?an?1??1）an?Pa③用特征方程求解：
an?1?Pan?r??相减，?an?1?an?Pan?Paan?Pan?1?r?n?1.
④由选代法推导结果：c1?r1?P，c2?a1?rP?1，an?c2Pn?1?c1?（a1?rP?1）Pn?1?r1?P.
6. 几种常见的数列的思想方法： ?等差数列的前n项和为Sn，在dn?0时，有最大值. 如何确定使Sn取最大值时的
d2d2值，有两种方法：
?0,an?1?0，成立的n一是求使an值；二是由Sn?n2?(a1?)n利用二次函数的
性质求n的值.
?如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前
— 20 — 高中数学知识点精析