???P1??e1????Q1??e1???????Pm??e1????Qm??e1J?????Pm?1??e1?2???Um?1??e1???????Pn?1??e1?2???Un?1??e1???P1???f1?em?fm?em?1?fm?1?en?1?fn?1???Q1??Q1??Q1??Q1??Q1??Q1??Q1?????f1?em?fm?em?1?fm?1?en?1?fn?1????????????Pm??Pm??Pm??Pm??Pm??Pm??Pm?????f1?em?fm?em?1?fm?1?en?1?fn?1???Qm??Qm??Qm??Qm??Qm??Qm??Qm?????f1?em?fm?em?1?fm?1?en?1?fn?1???Pm?1??Pm?1??Pm?1??Pm?1??Pm?1??Pm?1??Pm?1?????f1?em?fm?em?1?fm?1?en?1?fn?1?2222222??Um?1??Um?1??Um?1??Um?1??Um?1??Um?1??Um?1????f1?em?fm?em?1?fm?1?en?1?fn?1?????????????Pn?1??Pn?1??Pn?1??Pn?1??Pn?1??Pn?1??Pn?1?????f1?em?fm?em?1?fm?1?en?1?fn?1?2222222??Un?1??Un?1??Un?1??Un?1??Un?1??Un?1??Un?1?????f1?em?fm?em?1?fm?1?en?1?fn?1?????P1??P1??P1??P1??P1??P1 上述方程中雅可比矩阵的各元素，可以对式（17.15）和（17.16）求偏导数获得。当j=i时，对角元素是
n??Pi(Gijej?Bijfj)?Giiei?Biifi??e??j??1?in??Pi???(Gijfj?Bijfj)?Biifi?Giifi?j?1?fi?n??Qi??(Gijfi?Bijej)?Biiei?Giifi?j?1?e?i?n?Qi????(Gijei?Bijfj)?Giiei?Biifi j?1?f?i?2???Ui??2ei??ei?2???Ui??2fi??fi?
当j?i时，矩阵中非对角元素是
???P??Qii????(Gijei?Bijfi)??e?f?jj???Qi???Pi （17.19） ???Bijei?Gijfi??ej??fj?22??Ui??Ui???0?e?f?jj? 由以上表达式不难看出，雅可比矩阵有以下特点：
（1）雅可比矩阵中的诸元素都是节点电压的函数，因此在迭代过程中，它们将随着各节点电压的变化不断地改变。 （2）矩阵式不对称的。
（3）由式（17.19）可以看出，当导纳矩阵中的非对角元素Yij为零时，雅可比矩阵中相对应的元素也是零，即矩阵是非常稀疏的。因此，修正方程的求解同样可以应用稀疏矩阵的求解技巧。正是由于这一点才使N-R法获得的广泛的应用。
2.采用极坐标
节点电压和导纳可以表示为 Yij?Gij?jBij??Uej?i?Ucos??jsin?)Uiiiii （17.20）
n**??YijUj右端并将实部与虚部分开，得 将式（17.20）代入Pi?jQi?Uij?1P?U?U?Giijj?1nijcos?ij?BBijsin??ijij
Q?U?U?Giijj?1nijsin?ij?ijcos??
（17.21）
式中?ij为i、j两节点电压相角差（?ij=?i-?j）。
若仍设电力系统有n个独立节点，其中第n个为平衡节点，其电压已知，不参加迭代；系统有m个PQ节点，则PU节点有n-（m+1）个。对于PU节点，因为电压幅值给定，这就减少了n-（m+1）个未知数，同时，PU节点的注入无功功率为可调节量，不能预先给定，?Qi也就失去了约束作用。因此，对于PU节
点，将式（17.21）按泰勒级数展开并略去?Ui、??i二次及以后各项，修正方程式为（17.22）。
在式（17.22）中，电压幅值的修正量采用?UiUi的形式，是为了使雅可比矩
阵中的各元素有比较相似的形式。
雅可比矩阵中各元素对式（17.21）取偏导数求得，其计算式为
Hij???Pij?????UiU(Gjijsin?ij?Bijcos?ij)
i?j
HLii???Pnii?????Q?Ui?U(Gjj?1j?iijsin?ij?Bijcos?ij)
?iU??UU(Gsin??Bcos?)
ii??Ujijijijijijji?j
??LQniij???UUi??Ui?Uj(ijsin?Bijcos?ij)?2U2iBii
jj?1G?ijj?iN??Piij???UUj??UiUj(Gijcos?ij?Bijsin?ij)ji?j
N??niii?P??UUi??Ui?Uj(ijcos?Giiij?1G?ijBijsin?ij)?2U2ij?iJ??Qiij?????UiUj(Gijcos?ij?Bijsin?ij) j??JQnii?i?????Ui?Uj(ijcosij?Bijsin?ij)
ij?1G?j?i??P1???H11H12?H1n?1N11N12???P2??H21H22?H2n?1N21N22??????????????Pn?1??=?Hn?11Hn?12?Hn?1n?1Nn?11Nn?12???Q?1?J11J12?J1mL11L12????Q2?J21J22?J2mL21L22???????????????Q?m?Jm1Jm2?JmmLm1Lm2? i?j
N1n?1N2n?1?Nn?1n?1L?×
1mL2m?Lmm
???1???2???????n?1???U1U??U2U??????UmU?????? ?1?2????m? （17.22）
修正方程（17.22）可用分快矩阵的形式化简如下 ??????Q??J??P??HN????????? L???UU? （17.23）
用牛顿-拉夫逊法的极坐标形式计算潮流的程序框图与直角坐标形式表示的框图
基本相似。
需要指出，在上述的迭代过程中，因为某个PU节点因无功越限而转为PQ节点时，修正方程中也应更换或增加相应的行。如用直角坐标系，则应以无功功率不平衡量?Q的关系式取代电压不平衡量?Ui的关系式；若采用极坐标系；则应
i2增加一行对应于节点的无功功率不平衡量?Q的关系式；在列向量中，若
i
QQ(v)i?Qimax时，取Q(v)i?Qimax；
(v)i?Qimin时，取Q(v)i?Qimin。
启动 输入原始数据 形成导纳矩阵 给定电压初值e(0)、f(0)置=0 对于PQ节点，按式（17.15）计算?P(?)、?Q(?) 对于PU节点，按式（17.16）计算?P(?)、?U(?) 2是否?P(?)、?Q(?)