1.7. 有一内外半径分别为 r1 和 r2 的空心介质球，介质的电容率为ε，使介质内均匀带静止由电荷?f求 1 空间各点的电场； 2 极化体电荷和极化面电荷分布。 解（1）
???sD?ds?4?3f??3fdV3， （r2>r> r1）
f即：D?4?r2?∴E???r?r?r1??
?r3?r13??33?r， （r2>r> r1）
???Qf4?33E?ds??r2?r1??f由???s?03?0， （r> r2）
∴E???r32?r13??3f3?0r?r， （r> r2）
??r> r1时， E?0
?????????0??（2）P??0?eE??0E?????0?E?0
?????0r????f?3?????r13????r?3r?r???p∴
????r3?r13???????P??????0?????f33?r?? （r2>r> ???03??f?3?0??????0??fr1）
?p?P1n?P2n
考虑外球壳时， r= r2 ，n 从介质 1 指向介质 2 （介质指向真空），P2n =0 ??P1n?????0? ?r3?r133?p3?r??frr?r2??r?r???1?0?231?f
??3r2?33考虑内球壳时， r= r1
???????0??r3?r133?p3?r??fr?0r?r1
1.11. 平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为 l1 和l2，电容率为ε1和ε，今在两板接上电动势为 Ε 的电池，求 （1） 电容器两板上的自由电荷密度ωf （2） 介质分界面上的自由电荷密度ωf
若介质是漏电的，电导率分别为 σ 1 和σ 2 当电流达到恒定时，上述两问题的结果如何？ 解：在相同介质中电场是均匀的，并且都有相同指向 则???l1E1?l2E2?E??D1n?D2n??1E1??2E2?0(介质表面上?f?0) 故：E1??2El1?2?l2?1，E2??1El1?2?l2?1 又根据D1n?D2n??f， （n从介质1指向介质2） 在上极板的交面上， D1?D2??f1 D2是金属板，故D2=0 ?1?2El1?2?l2?1即：?而??f1?D1? f2?0 f3?D1??D2???D2?，（D1?是下极板金属，故D1?=0） ??∴??1?2El1?2?l2?1f3???f1 ???j若是漏电，并有稳定电流时，由E?可得 ?????jE1?1?1 ， ??????jE2?2 ?2j2?j1l?l?E2?1?2又??1 ?j?j?j?j,(稳定流动)2n12?1n
得：j1?j2?El1?1??D3??l2?2j1?2E?E???1?l1?2?l2?1?1 ，即? ?1E?E?j2?2??2l1?2?l2?1???D2???1?2El1?2?l2?1f上 ??2?2El1?29?l2?1f下 ?f中?D2?D3??2?1??1?2l1?2?l2?1E 1.14、内外半径分别a和b的无限长圆柱形电容器，单位长度电荷为?f，板间填充电导率为?的非磁性物质。
（1）证明在介质中任何一点传导电流与位移电流严格抵消，因此内部无磁场。 （2）求?f随时间的衰减规律。
（3）求与轴相距为r的地方的能量功耗功率密度。
（4）求长度为l的一段介质总的能量耗散功率，并证明它等于这段的能减少率。
????f（1）证明：由电流连续性方程：??J??0
?t 根据高斯定理 ?f???D
??????D????J??t?0,
即：??J???????D?t?0
消。
???????D???D)?0， ??J??0???(J??t?t，即传导电流与位移电流严格抵
（2）解：由高斯定理得：?D?2?rdl???fdl
???f?????f??er,E?er ?D?2?r2??r?????????????D?0，J??E,D??E又J??t?????????t?E??E???0,E?E0e??t???
????r0?t??er?e?er 2??r2??r?f??f??f0e???t
??????D??f0??t??f（3）解：J????(e)???t?t2?r?2?r能量耗散功率密度=J??J221??(?f2??r)?
2（5）解：单位体积dV?l?2?rdr
??P??ba(?f2??r)?l2?rdr?2l??f2??22Inba
静电能W=?ba1????D?EdV?2?ba1l?f1l?fbdr???In22??r22??a22
l?f?b??fb减少率???In??In2?t2??a?t2??a?Wl?f2
例1.一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳，带电荷Q，同心地包围着一个半径为R1的导体球（R1 解 这个问题有球对称性，电势?不依懒于角度?和?，因此可以只取 ???n(anR?nbnRn?1)Pn(co?s中)n=0项。设导体壳外和壳内的电势为 ?1?a?bRdR,(R?R3),(R2?R?R1) (1) (2) ?2?c?边界条件为： （1）因内导体球接地，故有 ?2|R?R??1|R???0 (3) 1（2）因整个导体球壳为等势体，故有 ?2|R?R??1|R?R (4) 13（3）球壳带总电荷Q，因而 ?????1R2d??????2R2d??Q R?R?R?R? 3R?R20把（1）、（2）代入这些边界条件中，得 a?0,c?dR?0, 1c?d?b RR,b?d?Q234??0由此解出 d?Q1,b?Q?Q14??, 04??04??0 c?Q14??, 0R1其中 R?1 Q31??R?1?11?R2?R?1Q 3把这些值代入（1）、（2）中，得出电势的解 (5) (6)