?1??2?Q?Q14??0RQ(,(R?R3)1?1R1
).(R2?R?R1)4??0R导体球上的感应电荷为
??2?R ??0?R?R1Rd??Q1
2例4 导体尖劈带电势V，分析它的尖角附近的电场。
解 用柱坐标系。取z 轴沿尖边。设尖劈以外的空间，即电场存在的空间为
0???2???(?为小角)。因?不依懒于z，柱坐标下的拉氏方程为
1?r?r(r???r)?1??r??222（1） ?0
用分离变量法解次方程。设?的特解为??R(r)?(?)则上式分解为两个方程
r2dRdr22?r2dRdr??R,2
d?d?22
????0.其中?为某些正实数或0.把?的特解叠加得?得通解 ??(A0?B0In)r(0?C?0D?)???(?A?r???Br)(???Cco?s???Ds in).各待定常量和?的可能值都由边界条件确定.
在尖劈??0面上，?=V，与r无关，由此
A0C0?V,B?0,0C??0?(?0).
因r?0时?有限，得
B0?B??0. 在尖劈??2???面上，有??V,与r无关，必须
D0?0,sin?(2???)?0,
因此?得可能值为
?n?n2?,(n?1,2.. ....)??考虑这些条件，?可以重写为
??V??Anr?sin?n? .nn为了确定待定常量An，还必须用某一大曲面包围着电场存在的区域，并给定这曲面上的边界条件。因此，本题所给的条件是不完全的，还不足以确定全空间的电场。但是，我们可以对尖角附近的电场作出一定的分析。
在尖角附近，r?0，上式的求和的主要贡献来自r最低幂次项，即n=1项。因此，
??V?A1r?sin?1?,
1电场为
???r1??r??Er?????A1r11??1sin?1?,
E???
???A1r11??1cos?1?.
尖劈两面上的电荷密度为
??0E?(??0) ???0En??
??E(??2???)?0? ???0?1Ar1??1.
1若?很小，有?1?12,尖角附近的场强和电荷密度都近似地正比于r?12.由此可
见，尖角附近可能存在很强的电场和电荷面密度。相应的三维针尖问题就是尖端放电现象。 2.7 在一很大的电解槽中充满电导率为?2的液体，使其中流着均匀的电流jf0，今在液体中置入一个电导率为?1小球，求稳恒时电流分布。讨论?1???2及?2???1两种情况下电流分布的特点。 解：维持电流恒定的电场也是静电场，可令E????，由电流恒定条件??Jf?0，等两种介质都是线性均匀的，根据欧姆定律半径为R0??J??E??Ee，令导电液中原电流密度f0。问题就2020z有z轴对称性。 全部定解条件为： ??1?02 （R ?1??annRPn(cos?) （2） n?2??nbnRP(cos?)?n?1nJf0?2Rcos? （3） 将（2）和（3）代入（1），解出 ?1??3Jf0?1?2?2Jf0Rcos? Jf0??1??2?R032?2???2Rcos???2??1?2?2?Rcos? ??????由???0eR?E2?E1??，得球面的电荷密度： ???0??????2?R?3??1??2??0??1??Jf0cos? ?2?R?R?R0??1?2?2?R球内?1为原外场与球面电荷分布?产生的均匀场之叠加;球外?2的第一项是原外场，第二项是球面电荷产生的偶极场。 电流分布为： ??????J1??1E1???1??1?????3?1Jf0(?1?2?2) 3??????????????????????(???)R?3(Jf0?R)RJf0?120J2??2E2???2??2?Jf0??3? ?5(?1?2?2)?RR??????????????????????????????3(Jf0?R)RJf0?3?3?当?1???2时，J1?3Jf0，J2?Jf0?R0?5RR???? 当?2???1时，???J1?0???????R3，J2?Jf0?02?????????????3(Jf0?R)RJf0??3??5RR???? ?，导体球接地，离2.8 半径为R0的导体球外充满均匀绝缘介质R??，??0；球心为a处?a?R0?置一点电荷Qf，试用分离变数法求空间各点电荷，证明所得结果与镜象法结果相同。 【解】以球心为坐标原点，另Qf位于z?a，如图所示。 z r Qf R a θ O 于是问题有z 轴对称性。球外电势的全部定解条件为 ?2???Qf?(x?aez)?/ （1） R??，??0； R?R0，?=0 （2） 由R??处的条件和z轴对称性，泊松方程（1）的解写为 ??Qf4??r???n?0bnRn?1Pn(cos?) （3） 其中是r点电荷Qf到场点的距离。1可展开成 r1r??1??R?n(R?a)????Pn(cos?)1?a?a???n?0 （4） 22?anR?a?2Racos??1(R?a)()Pn(cos?)?R?R?n?0因R0?a，将（4）的第一式代入（3），并由条件R?R0，??0解出 bn??QfR02n?14??aQf4??rn?1Qf ? ???Qf4???an?0R02n?1n?1Rn?1Pn(cos?) (R?R0) （5） 将（4）代入（5），便给出R0?R?a和R?a两区域中电势的级数形式，仅在 R?a，??0即点电荷Qf所在点级数发散。在R?a区域，（5）式给出 1?nR02n?1?a?n?1a???Pn(cos?) （6） ???Qf4????n?0Rn?1