k? A1kx?A2yAk?0 3z可见A1,A2,A3中只有两个是独立的，即（7），（8），（9）表示的解中，对每一组m,n值，管内有两种独立的波模。
5.1. 若把麦克斯韦方程组的所有矢量都分解为无旋的(纵场)和无散的(横场)两部
??分，写出E和 ??B的这两部分在真空所满足的方程式，并证明电场的无旋部分对应于库仑场。
????????????????????????解：令E?EL?ET，B?BL?BT，J?JL?JT，下标L表示纵场，T表示横场：
????????????????????BL?0，??EL?0，??JL?0，??ET?0，??BT?0，??JT?0 （1）
于是从麦克斯韦方程
???????????????B1?E，??B?0， ??B??0J?2 （2） ??E??/?0，??E??c?t?t????????????1?EL得??EL??/?0 ，??EL?0，2???0JL （3）
c?t??????????BT，??ET?0， （4） ??ET???t??????????BL ?0 （5）??BL?0，??BL?0，
?t????????????1?ET，??BT?0 （6） ??BT??0JT?2c?t???方程组（3）的前两个方程表明，时变电场的纵向分量EL???场一样是有散无旋场，故EL由电荷激发，它与静电
对应库仑场。
??????5.2. 证明在线性各向同性均匀非导电介质中若??0, J?0,则E和B可完全由
??矢势A
决
??定若取??0, 这时A 满足哪两个方程？
???????????解：对于单色波，现行各向同性均匀介质内D??E，B??H，若??0, J?0，
场方程为
?????????????B?E，??B?0，??B??? （1） ??E?0，??E???t?t?????????A将 B???A，E????? （2）
?t代入场方程（1），并选择洛伦兹规范
??????A????0
?t??得A和?遵从齐次波动方程：
（3）
??22???A??22?A????0，??????0 （4） 22?t?t将角频率为?的单色波
???????i?t??，?(x,t)??(x)e?i?tA(x,t)?A(x)e （5）
i???(??A) （6）
代入（3）式，并求梯度，得?????????????于是又（2）可知E和B可完全由矢势A确定：
????B???A，
?????????AiE???????(??A)?i?A （7）
?t???????若取??0，则（3）式变成??A?0，此时A满足的两个方程为 ??2?????A2?A????0，??A?0 （8） 2?t??由给定的边界条件，从这两个方程杰出A????????B???AE?i?A ，便可给出，
??A(?,?)5.3. 证明沿z 轴方向传播的平面电磁波可用矢势)
??A
表示，其中??t?z/c，
垂直于z
轴方向。
证：在洛伦兹规范
??1????A?2?0
c?t 下，齐次达朗贝尔方程的平面波解
为
????????i(k?x??t)i(k?x??t) A?A0e，???0e
?????由于k?A?0，即A为横场，于是由洛伦兹规范，得
???i?ik?A?2??0，??0
c???而波失量k?kez，故失势为
??????i(k???i?(t?z/c)???x??t)A?A0e?A0e?A(?,?)
其中??t?z/c，这平面波的电磁场用失势表示为
???????B???A?ik?A(?,?)
???????AE???i?A(?,?)
?t5.4.
???设真空中失势可用复数傅里叶展开为A(x,t)???????*ik?x?ik?x其中?[ak(t)e?ak(t)e]，k??*ak是ak的复共轭。
?2??dak22（1）证明ak满足谐振子方程2?kcak(t)?0；
dt??????（2）当选取规范??A?0，??0时，证明k?ak?0；
????（3）把E和B??*用ak和ak表示出来。
??1???0 （1） （1）证明：在洛伦兹规范 ??A?2c?t??2????1?A下，真空中的A的齐次波动方程为?2?A?22?0 （2）
c?t这是一个线性方程，任何频率的单色平面波是它的解，由各种不同频率的单色波线性叠加而成的任何电磁波，都是它的解。故一般的可将这方程的解表示为级数：
???A(x,t)???????ik?x?ik?x*?[ak(t)e?ak(t)e] k （3）
将（3）代入方程（2）可得
?dak2dt2?2??da*k2222?kcak(t)?0，?kca*k(t)?0 （4） 2dt
即每一个单色波ak极其复共轭都满足谐振子方程。
??????????*（2）当选取规范??A?0，??0时，将（3）式代入此条件得k?ak?0，k?ak?0
?（5）
????（3）B???A??k???????ik?x?ik?xik?[ak(t)e?a*k(t)e]
（6）
???????????Adak(t)ik?xda*k(t)?ik?xE?????[e?e] （7）
?tdtdtk5.5. 设A和?是满足洛伦兹规范的失势和标势。
???（1）引入一矢量函数Z(x,t)??（即赫芝势），使?????Z??????1?Z，证明A?2；
c?t??（2）若令?????P??，证明Z??2????1?Z2满足??Z?22??P/?0，并写出它在真空中的
c?t推迟解；
????（3）证明E和B??可通过Z用下列公式表出。
??1??c2证明：在洛伦兹规范 ??A?下A和?遵从达朗贝尔方程：
???t?0 （1）
??22????1?A1??22?A?2???0J，???2???/?0 （2） 22c?tc?t??将?????Z （3）
（4）
??1?Z）=0 代入（1）式得?(A?2c?t因为（1）式对任意点任意时刻都成立，故方程（4）对任意点任意时刻也成立，
????1?Z因此括号内两个矢量最多只相差一个无散场，令其为0，便有A?2 （5）
c?t若令?????P （6）
??2????1?Z2将（3）式和（6）式代入（2）式的第二式得??Z?22??P/?0 （7）
c?t??这方程与A的达朗贝尔方程有完全相同的形式，因此它也有推迟势解：
??
???Z(x,t)?14??0?v??P(x,t?r/c)rdv （8）
??只要给出?，由（6）式可求出P，进而由（8）式便可求出赫芝势。
??????1?B???A?2(??Z) （9）
c?t?????????AE????????(??Z)?P/?0
?t （10）
5.6 两个质量、电荷都相同的粒子相向而行发生碰撞，证明电偶极辐射和磁偶极辐射都不会发生。
证明：由电偶极矩产生的辐射场
??E?eikR2..???(P?n)4??0cR..???eikR???0，B?(ikn?P)
4?R由磁偶极矩产生的辐射场
ikR....?????????eikR????0e0(m?n)?n E?(m?n)，B?24?cR4?cR现有两个质量，电荷都相同的粒子相向而行，发生磁撞，在此过程中取两个电荷的连线为x 轴，于是此系统的电偶极矩是
??????P?qx1?qx2?q(x1?x2)
2......?????????d由此可发现P?2[q(x1?x2)]?q(x1?x2)
dt......???????由于两个粒子质量相同，电量也相同，故当其运动时x1??x2即P?0
于是系统的电偶极矩辐射场为 0 同理，系统的磁偶极矩辐射场为 0
综上，两个质量电荷都相同的粒子，同向而行发生磁撞，不会发生电偶极辐射和磁偶极辐射。
例1． 一个立方体的固有体积为1000 m3，求沿与立方体的一边平行的方向以
0.8c 的速度运动的观测者O?所测得的体积。
解： 设立方体沿x方向运动 v=0.8 c，则观测者O?将测得立方体与运动方向平行的一边有一个收缩了的长度：
v??lx1?()2?6m lxc