它包含着这电荷体系所有各级电多极矩的电势，由
P0(cos?)=1，P1(cos?)=cos?，P2(cos?)=?3cos??1?/22
（6）式的前三项是单极项，偶极项和四极项电势： ?(0)?Qf4??RQf4??RQf8??R32(1?R0aR0a3 （7） )?(1)?(a?2)cos? （8）
?(2)?(a?2R0a52)(3cos??1) （9）
2由（8）式和（9）式，可推知这体系的电偶极矩和电四极矩。
【镜像法】以假象的像电荷代替导体球与介质分界面真实的感应电荷及极化电荷对电场的贡献，为使所得的解满足求解区域即球外的方程（1），像电荷必须置于球内。由轴对称性，在球内z?b处置像电荷Q?，于是球外任一点的电势可写成 ??Qf4??r?Q?4??r? （10）
其中r是Qf到场点的距离，r?是Q?到场点的距离，即
1r1r??1R?a?2Racos??1R?b?2Rbcos?2222
（11）
由R?R0，?=0的条件，有
f??0，即 ????r??R?RQfr?r0?QQ??Q?r?R?R0
将r和r?代入上式并两边平方，可解出
2/，a b?R0/a （12） Q???QfR0 ??Qf4??r?QfR0/a4??r? （13）
此解与（5）式是一致的，它显然也满足R??，??0的条件。
2.9. 接地的空心导体球的内外半径为R1 和R2 ，在球内离球心为a(a 解：由于接地导体球壳的静电屏蔽作用，球壳及其外部空间的电势为零，求解区域为球腔。设点电荷q位于z=a,球腔内电势的定解条件为 ??????q?(x?aez)/?0 （1） 2R=0, ?有限；R= R1 ，??0 （2） 由z轴对称性，将代替导体球面感应电荷的镜像电荷q’置于z=b处，且必须使b> R1,于是球腔内任意一点的电势为 ??1(q?q'r') 4??0r （3） 其中r和r’分别为场点到q和q’的距离，即 1r?1R?a?2Racos?22，1r'?1R?b?2Rbcos?22 (4) 由R= R1 ，??0的条件，解出 q'??qR1/a, b?R12/a (5) 将（4）,（5）代入（3）得 ??14??0[qR?a?2Racos?22??qR1/aR?(R/a)?2R(R/a)cos?221221] 因为球外??0故感应电荷集中在内表面并且总电量为q。 2.11. 在接地的导体平面上有一半径为a 的半球凸部，如图半球的球心在导体平面上，点电荷Q 位于系统的对称轴上，并与平面相距为b（b>a）试用电象法求空间电势。 解：以z轴为系统的对称轴，球心为坐标原点，求解区域为导体表面上方空间，导体表面的电势为零，定解条件为 ????q?(x,y,z?b)/?02 R?a，以及R?a但z?0处??0 ，??0 R??要满足导体表面电势为零的条件，需要导体内设置三个假想的像电荷：在z=-b处置-q，在z?a2/b处置-qa/b，在z??a2/b处置+qa/b。于是导体外任意一点的电势为 ??14??0[qx?y?(z?b)222??qx?y?(z?b)222??qa/bx?y?(z?a/b)2222?qa/bx?y?(z?a/b)2222] 3.13 有一个均匀带电的薄导体壳，半径为R0，总电荷为q，今使球壳绕自身某一直径以角速度?转动，求球内外的磁场B. 【解】以球心为坐标原点，转轴为z轴.球壳电荷面密度?f=q/4?R02，因球壳自转而形成的面电流密度为 αf??fv?q4?R0?ez?R0eR?2q?4?2R0sin?e? （1） 【磁标势法】 球内外两区域均无传导电流分布，磁标势均满足方程?2??0，边界条件为 R?0，?1有限； R??，?2?0 （2） R?R0处，B2R?B1R，eR?(H2?H1)?α f 即 ??2?R???1?R， ?1??2R0???1??1R0???q?4?R0sin? （3） 由z轴对称性，及（2）的两个条件，磁标势方程的解写为 ?1??anRnPn?co?s? (R?R0) （4） n ?2??nbnRn?1Pn(co?s ) (R?R0) （5） 由条件（3），解出 ?1??q?6?R0co?s，?2???0q?6?R0m4?R2cos??m?R4?R3 （6） B1??0(???1)?ez （7） m? （8） 3?R?B2??0(???2)??4???0?3?m?R?R5? 球内为均匀场，球外为磁偶极场，球面电流形成的磁矩为 m?1?Re??2s0R?αf?dS?q?R032ez （9） 3.14 电荷按体均匀分布的刚性小球，总电荷量为q，半径为R0，它以角速度?绕自身某一直径转动，求： （1）它的磁矩； （2）它的磁矩与自转角动量之比。设小球质量M0是均匀分布的。 【解】小球的电荷密度与质量密度分别为 ?q?3q4?R03， ?m?3M04?R03 设转动轴为z轴，则球内任一点的转动速度为v??ez?r??re?， 球内电流密度与动量密度分别为 J??qv??q?re?， p??mv??m?re? 小球的磁矩m与自转角动量L分别为 m?1?2Vr?JdV?q?R052ez 2L?1?2Vr?PdV?2M0?R05ez M0 于是有 m/L?q/2 4.1有两 z轴传播，一个波沿x方向偏振， ?2另一个沿y方向偏振，但相位比前者超前，求合成波的偏振。反之，一个圆偏 振可以分解为怎样的两个线偏振？ 解：两个波德波矢量均为k?kez，设振幅均为E0，有 E1?E0exei(kz??t) ?2)E2?E0eyei(kz??t??iE0eyei(kz??t) 于是合成波 E?E1?E2?E0(ex?iey)ei(kz??t) 是振幅为E0的圆偏振波，在迎着传播方向看来，电矢量E逆时针旋转，故是右旋的圆偏振波。若E2的相位比E1滞后 E?E1?E2?E0(ex?iey)ei(kz??t)?2，则合成波 是左旋的圆偏振波。若E1和E2的振幅不等，则合成波是右旋或左旋的椭圆偏振波。反之，一个圆（或椭圆）偏振波可以分解为两个相互独立，相位差为?线偏振波。 4.2考虑两列振幅相同、偏振方向相同、频率分别为??d?和??d?的线偏振平面波，它们都沿z轴方向传播 （1）求合成波，证明波德振幅不是常数，而是一个波： （2）求合成波的相位传播速度和振幅传播速度。 解：因d???，这是两列频率接近的波，波数分别为k1?k?dk,k2?k?dk。设它E0们都沿x方向偏振，振幅为E0，且初相位一致，即 E1?E0exei[(k?dk)z?(??d?)t]?2的 ,E2?E0exei[(k?dk)z?(??d?)t] 于是合成波 E?E1?E2?2E0excos(dk?z?d??t)ei(kz??t) 仍是x方向上的线偏振波，其实数形式为 ??z?d? E?2E0cosd(kt)co?sk?(zex t)这表明频率为?的高频波受到了频率为d?的低频波调制，2E0cos(dk?z?d??t)