是已调至的振幅，或称包络线，等相位面方程为??kz??t?常数，对它求时间导数，得相速度
vp?dzdt??k
等振幅面方程为2E0cos(dk?z?d??t)=常数，对此求时间的导数美得振幅传播速度
vg?d?dk
它是波包整体的传播速度，即群速。
4.3一平面电磁波以??45o从真空入射到?r?2得介质，电场强度垂直于入射面。求反射系数和折射系数
解：设介质是非铁磁性且线性均匀的，即?r?1，折射率n21??r?r?2，因入射角??45o，由折射定律 sin?''?12,cos?''?32sin?sin?''?n21，得
即折射角?''?30o。当E垂直于入射面时，由边值关系
E?E?E,Hcos??Hcos??Hcos?''''''''
及H??0?0E,H'??0?0R?E,H?2'''??0?E可解出E'，反射系数为
''SnSn'?EE'2?2?33?(2?3)?7?43?0.0722
不考虑介质损耗时，折射系数为 T?1?R?232?3?0.928
4.4有一个可见平面光波由水入射到空气，入射角为600。证明这时将会发生全反射，并求折射波沿表面传播的相度和透入空气的深度。设该波在空气中的波长为
?0?6.28?10cm，水的折射率为n=1.33
?5解：空气的折射率n2?1，水的折射率n1?n?n2，这是光从光密介质入射至光疏介质的问题，由折射定律
（1）
sin?sin?''?n2n1?n21?1n??0?0?1?1
可得这问题的临界角为 ?c?arcsin（2）
入射角??600??c，故sin?''?nsin??1，已没有实数意义上的折射角，将发生全反射。设界面为z=0的平面，入射面为xz平面，入射波矢k?kxex?kzez，折射波矢k''?kx''ex?kz''ez,k???1?1,k''???0?0，由折射定律（1），有
k?n21k,kx?kxsin??k''''''''n2n1?arcsin0.7518?49450'
（3）
kz?''k''2?kx?iksin??n21?i?''222
（4）
折射波矢的法向分量kz''为虚数，故折射波电场为
i(k?x??t)''??zi(k E''?E''e?Eee00''''xx??t)
（5）
可见这是沿界面切向x传播，振幅在法向z按指数规律衰减的表面波。设E''?E''ey由
/ B''??0H''?(k''?E'')?（6）
得折射波磁场两个分量： （7）
因此折射波的法向平均能流密度：
H?E''z''?0sin??0n21,Hx??iE''?'0'?0sin?n2212?1
Sz''??（8）
12ReE(Hx?)''*'' 0
透射系数T=0.这是因为入射波能量在半个周期内透入第二介质，在另半个周期内又完全反射回到第一个介质所致。由k?nk''?2n?/?0，波透入空气中的深度为
????1?1ksin??n2122
?2n??0sin??1/n22
?5?1.7?10cm（9）
折射波德相速度为 vp?（10）
4.5频率为?的电磁波在各向异性介质中传播时，若E,D,B,H仍按e?但D不再与E平行（即D??E不成立）。
（1）证明k?B=k?D=B?D=B?E?0，但一般k?E?0 （2）证明D?[k2E?(k?E)k]/?2?
（3）证明能流S与波矢k一般不在同一方向上 解：设介质内?f?0,Jf?0即介质中的场方程为 ??D?0,??E??（1）
设Β??H成立，将E?E0eio(k?x??t),D?D0eio(k?x??t),B?B0eio(k?x??t)代入上述场方程，得
k?D?0,k?B?0,B?1k?E,D??1k?B?B?tik?x??t??k''x??ksin??233nc?32c
变化，
??B?0,??H???D?t
???
（2）
E?B?0,B?D=0,k?E?k?D/??0
（3）
k?E?0是由于D??E。将（2）的第三式代入第四式，得
D??12??k?(k?E)?1??2[kE?(k?E)k]2
（4）
因k?E?0，故D与电场E不同向。介质中的能流密度为
S=E?H?1E?(k?E)?1[Ek?(k?E)E]2????
（5）
显然，S与波矢k不在同一方向。
4.7已知海水的?r?1,??1S?m?1，试计算频率v为50Hz，106Hz的三种电磁波在海水中的透入深度。
?12?1F?m在微波频率以下海水的?r数量级为10，电导率解：由?0?8.854?10?169??1S?m，因此对于频率为50Hz，10Hz和10Hz的三种电磁波，均有
????2????vr0?1
即海水对上述频率的波可视为良导体，波德穿透深度均可表示为 ??1?2?1v?0??????
6910Hz和10Hz代入上式，分别得 将?0?4??10?7H?m?1,??1S?m?1,v?50Hz，，??0.5，m?? ??72m16 m4.12无限长的矩形波导管，在z=0处被一块垂直地插入的理想导体平板完全封闭，求在z???和z=0这段管内可能存在的薄模
解：因一端被理想导体封闭，波在此处将被完全反射，因此这波导管内电场不具有E(x,t)?E(x,y)ei(kzz??t)形式，现令E(x,t)?E(x,y)e?i?t,E(x)是方程
?2E?k2Ε?0,k??/c （1） 满足条件
??E?0和en?E|s?0 （2）
的解，界面S是管壁。E(x)的三个直角分量均满足方程：
?Ei?k?i?0,i?x,y,z22 （3）
其中k2?kx2?ky2?kz2??2/c2 （4）
令Ex?X(x)Y(y)Z(z),从方程（3）得到三个一维波动方程：
dXdx22?kX?0,2xdYdy22?kY?0,2ydZdz22?kzZ?0 （5）
2它们都有形如Cicoskxxi?Disinkixi的通解，因此
Ex?(C1coskxx?D1sinkxx)(C2coskyy?D2sinkyy)(C3coskzz?D3sinkzz) （6）
设波导管x方向的宽度为a，y方向的宽度为b。有条件（2），有
?Ex?0处，x?0;y?0及z?0处，Ex?0?x
由此得D1?C2?C3?0，于是
Ex?A1coskxxsinkyysinkzz （7）
常数A1是Ex的振幅。同理得
sinkxxcoskysiznk z （8） Ey?A 2y Ez0?A3sinkxxcoskyycoskzz （9）
再由条件（2），有 x?a处，?Ex?x?0,Ey?Ez?0
?Eyy?b处，?0,Ex?Ez?0
?y将（7）（8）（9）三式代入上述条件，解得
/m(n,? kx?m?/a,ky?n?b,1,2 , kz?k?kx?ky?(?/222)c2?(?m/a)??(n2/ b)2管内电场还应满足??E?0将（7）(8)(9)三式代入这条件，得