导数综合题集锦
1．已知函数f(x)?x?alnx,其中a为常数，且a??1.
（Ⅰ）当a??1时，求f(x)在[e,e2]（e=2.718 28…）上的值域； （Ⅱ）若f(x)?e?1对任意x?[e,e2]恒成立,求实数a的取值范围. 2. 已知函数f(x)?alnx?1,a?R. x （I）若曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x?2y?0垂直，求a的值； （II）求函数f(x)的单调区间；
（III）当a=1，且x?2时，证明：f(x?1)?2x?5. 3. 已知f(x)?x3?6ax2?9a2x（a?R）． （Ⅰ）求函数f(x)的单调递减区间；
（Ⅱ）当a?0时，若对?x??0,3?有f(x)?4恒成立，求实数a的取值范围． 4．已知函数f(x)?13x?ax2?(a2?1)x?b(a,b?R). 3 （I）若x=1为f(x)的极值点，求a的值；
（II）若y?f(x)的图象在点（1，f(1)）处的切线方程为x?y?3?0，
（i）求f(x)在区间[-2，4]上的最大值；
（ii）求函数G(x)?[f'(x)?(m?2)x?m]e(m?R)的单调区间
5．已知函数f(x)?lnx??xa. x （I）当a<0时，求函数f(x)的单调区间；
（II）若函数f（x）在[1，e]上的最小值是,求a的值.
32mx3?ax2?(1?b2)x,m,a,b?R 6．已知函数f(x)?3 （1）求函数f(x)的导函数f?(x)；
（2）当m?1时，若函数f(x)是R上的增函数，求z?a?b的最小值；
（3）当a?1,b?2时，函数f(x)在（2，+∞）上存在单调递增区间，求m的取值范
围.
7．已知函数f(x)?px?p?2lnx. x （1）若p?2，求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线；
（2）若函数f(x)在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围； （3）设函数g(x)?2e,若在[1,e]上至少存在一点x0，使得f(x0)?g(x0)成立，求实x1x数p的取值范围。
28.设函数f(x)?p(x?)?2lnx,g(x)?x.
（I）若直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切，且与函数f(x)的图象相切于点(1,0)，
求实数p的值；
（II）若f(x)在其定义域内为单调函数，求实数p的取值范围。 9. 已知函数f(x)?12x?2x,g(x)?logax(a?0,且a?1),其中a为常数，如果2h(x)?f(x)?g(x)在其定义域上是增函数，且h?(x)存在零点（h?(x)为h(x)的导函
数）。
（I）求a的值；
（II）设A(m,g(m)),Bn(,g?(n)m)是(函n数y?g(x)的图象上两点，
g?(x0)?g(n)?g(m)(g?(x)为g(x)的导函数),证明:m?x0?n.
n?m2210. 设函数f(x)?xmlnx，h(x)?x?x?a。
（Ⅰ）当a=0时，f(x)?h(x)在（1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）当m=2时，若函数k(x)?f(x)?h(x)在［1，3］上恰有两个不同零点，求实数 a的取值范围；
（Ⅲ）是否存在实数m，使函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．
11. 已
知函数
f(x)?(x2?3x?3)?ex定义域为[?2,t](t??2),设f(?2)?m,f(t)?n.
（I）试确定t的取值范围，使得函数f(x)在[?2,t]上为单调函数； （II）求证：n?m；
（III）求证：对于任意的t??2,总存在x0?(?2,t),满足f?(x0)22?(t?1)，并确定3ex0这样的x0的个数。
12. 已知函数f(x)?x2?alnx在(1,2]是增函数,g(x)?x?ax在(0,1)为减函数. （1）求f(x)、g(x)的表达式；
（2）求证:当x?0时,方程f(x)?g(x)?2有唯一解； (3）当b??1时,若f(x)?2bx?1在x∈(0,1]内恒成立,求b的取值范围. 2x13. 已知函数f'(1)?0,且f'(x)?0在R上恒成立. （1）求a,c,d的值； （2）若h(x)?32b1x?bx??,解不等式f'(x)?h(x)?0; 424[m,m?2]上有最小值－5？若 （3）是否存在实数m，使函数g(x)?f'(x)?mx在区间 存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由. 14. 已知函数f(x)?x3?ax2?x?1，a?R． （Ⅰ）讨论函数f(x)的单调区间；
（Ⅱ）设函数f(x)在区间??，??内是减函数，求a的取值范围． 15. 设函数f(x)??2?31?3?lnx?lnx?ln(x?1)． 1?x（Ⅰ）求f(x)的单调区间和极值；
（Ⅱ）是否存在实数a，使得关于x的不等式f(x)≥a的解集为（0，+?）？若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由．
16. 某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD的中点P 处，已知AB=20km,CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A,B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为ykm．
（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：
①设∠BAO=?(rad)，将y表示成?的函数关系式； ②设OP?x(km) ，将y表示成xx的函数关系式． （Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短． 17.已知函数f(x)?DOPCAB
lnx?a(a?R) x（Ⅰ）求f(x)的极值；
（Ⅱ）若函数f(x)的图象与函数g(x)=1的图象在区间(0,e2]上有公共点，求实数a的取值范围。
18.已知函数f(x)?ln(ax)?ln(ax)?ln(x?1), (a?0,a?R) x?1（Ⅰ）求函数f(x)的定义域； （Ⅱ）求函数f(x)的单调区间；
（Ⅲ）当a>0时，若存在x使得f(x)?ln(2a)成立，求a的取值范围.
19.某种商品的成本为5元/ 件，开始按8元/件销售，销售量为50件，为了获得最大利润，商家先后采取了提价与降价两种措施进行试销。经试销发现：销售价每上涨1元每天销售量就减少10件；而降价后，日销售量Q（件）与实际销售价x（元）满足关系： 39(2x2?29x?107) (5?x?7) Q＝ 198?6x (7?x?8)
x?5 （1）求总利润（利润＝销售额－成本）y（元）与销售价x（件）的函数关系式； （2）试问：当实际销售价为多少元时，总利润最大.
2x2?1x20.已知函数g(x)?的图像关于原点成中心对称 ，设函数f(x)??cx?1．
x?cg(x)lnx(1)求f(x)的单调区间;
xm(2)已知e?x对任意x?(1,??)恒成立．求实数m的取值范围(其中e是自然对数的
底数)．
21.设函数f(x)?(x?1)?blnx，其中b为常数．
21时，判断函数f(x)在定义域上的单调性； 2（Ⅱ）若函数f(x)的有极值点，求b的取值范围及f(x)的极值点；
（Ⅰ）当b?（Ⅲ）若b??1,试利用（II）求证：n?3时，恒有
222.已知函数f(x)?ln(x?1),g(x)?11。 ?lnn?1?lnn???2nn1?a. x2?1（1） 求g(x)在P(2,g(2))处的切线方程l;
（2） 若f(x)的一个极值点到直线l的距离为1，求a的值；
y N （3） 求方程f(x)?g(x)的根的个数.
23.某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),
O P M x
公共设施边界为曲线f(x)?1?ax2(a?0)的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点M、N，交曲线于点P，设P(t,f(t))
（1）将?OMN（O为坐标原点）的面积S表示成t的函数S(t)； （2）若在t?1处，S(t)取得最小值，求此时a的值及S(t)的最小值. 2?2x?b24．已知定义域为R的函数f(x)?x?1是奇函数．
2?a(1) 求a,b的值；
(2)若对任意的t?R, 不等式f(t2?2t)?f(2t2?k)?0恒成立, 求k的取值范围.
25．已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)?kf(x?2)，其中常数k为负数，且f(x)在区间0,2上有表达式f(x)?x(x?2). （1）求f(?1)，f(2.5)的值；
（2）写出f(x)在?3,3上的表达式，并讨论函数f(x)在?3,3上的单调性； （3）求出f(x)在?3,3上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值. 26．已知函数f(x)?3????????x(x?a)（x?0，a?R）
求函数f(x)的单调区间；
求函数f(x)在1,8上的最大值和最小值． 27．已知函数f?x?为定义在
R
上的奇函数，且当x?0时，
??