若a?0，则由f??x??0得x??a?a?，因此f?x?的单调递增区间是??,???，单调递减4?4?时，最大值是2a?16．
区间是?0,???a??32?a??15时，5??a?4最大值是a?1；当?1?．4?4313，故
?解析： 解：(1) f?x??x?ax2?4114x?a f??x??x3?ax3?32333x若a?0，则f??x??0，因此f?x?在?0,???上是增函数． 若a?0，则由f??x??0得x??a?a?，因此f?x?的单调递增区间是??,???，单调递减4?4?区间是?0,?数．
??a?，因此f?x?在?1,8?上是增函?．(2) 若a??4，则f??x??0（x??1,8?）
4?那么f?x?在x??1,8?上的最小值是f?1??a?1，最大值是f?8??2a?16； 若a??32，则f??x??0（x??1,8?），因此f?x?在1,8上是减函数．
??那么f?x?在x??1,8?上的最小值是f?8??2a?16，最大值是f?1??a?1． 若?32?a??4，则 x 1 a??1,??? 4??? ?0 a 4?a???,8? ?4?+ ↗ 8 f??x? f?x? f?1??a?1 ↘ 极小值 f?8??2a?16 所以f?x?在x??1,8?上的最小值是f???a?33a??a?， 44??4当f?1??a?1?f?8??2a?16，即?32?a??15时，最大值是a?1；当?15?a??4时，最大值是2a?16．
???27、f(x)=2sin?2x???2 ,a?f?x???2?2,2?2??2?2,2?2??0?
4???解析：（1）当x?0时，
f?x???sinx?cosx??2cos2x?sin2x?2cos2x?1
2?????sin2x?cos2x?2?2sin?2x???????2 4????x?0时，?x?0，f?x???f(?x)?2sin?2x???2（6分）
4??（2）若关于x的方程f?x??a?o有解，a?f?x???2?2,2?2??2?2,2?2??0?（12分）
????28、f(1)?f(6)?f(28)?2?9?55?66
?解析：解：（I） 由①知，对任意a,b?N*,a?b，都有(a?b)(f(a)?f(b))?0，
由于a?b?0，从而f(a)?f(b)，所以函数f(x)为N*上的单调增函数
（II）令f(1)?a，则a…1，显然a?1，否则f(f(1))?f(1)?1，与f(f(1))?3矛盾.从而a?1，而由f(f(1))?3,即得f(a)?3. 又由（I）知f(a)?f(1)?a，即a?3.
*于是得1?a?3，又a?N，从而a?2，即f(1)?2.
进而由f(a)?3知，f(2)?3. 于
是
f(3)?f(f(2))?3?2?6, f(6)?f(f(3))?3?3?9,
f(9)?f(f(6))?3?6?18,
f(18)?f(f(9))?3?9?27, f(27)?f(f(18))?3?18?54, f(54)?f(f(27))?3?27?81, 由于54?27?81?54?27,
而且由（I）知，函数f(x)为单调增函数，因此f(28)?54?1?55. 从而f(1)?f(6)?f(28)?2?9?55?66. （Ⅲ）f(an)?f(f(3n))?3?3n?3n?1,
an?1?f(3n?1)?f(f(an))?3an，a1?f(3)?6.
即数列{an}是以6为首项, 以3为公比的等比数列 . ∴ an?6?3n?1?2?3n(n?1,2,3?)
11(1?n)111111113?1(1?1),显然1(1?1)?1, 于是?????(?2???n)??31a1a2an2333243n443n1?312n另一方面3n?(1?2)n?1?Cn?2?Cn?22???Cn?2n?1?2n,
从而
1111n(1?n)?(1?)?. 442n?14n?23综上所述,
n1111??????.
4n?2a1a2an429、（Ⅰ）a?0
（Ⅱ）0?a?（Ⅲ）(??,0]
1?5 2?解析：（Ⅰ）f?(x)?a?3x2?2x?a ax?1x[3ax2?(3?2a)x?(a2?2)] ?ax?1∵x?
22
为f(x)的极值点，∴f'()=0 332222)+(3-2a)-(a2+2)=0且a?1?0
3332为f(x)的极值点成立。 3∴3a(∴a?0. 又当a?0时，f'(x)=x(3x-2)，从而x=（Ⅱ）因为f(x)在[1,??)上为增函数，
x[3ax2?(3?2a)x?(a2?2)]所以?0在[1,??)上恒成立.
ax?1若a?0，则f?(x)?x(3x?2)， ∴f(x)在[1,??)上为增函数不成立；
若a?0，由ax?1?0对x?1恒成立知a?0。
所以3ax?(3?2a)x?(a?2)?0对x?[1,??)上恒成立。
22令g(x)?3ax2?(3?2a)x?(a2?2)，其对称轴为x?因为a?0，所以
11， ?32a111??，从而g(x)在[1,??)上为增函数。 32a3所以只要g(1)?0即可，即?a2?a?1?0
所以
1?51?5 ?a?22又因为a?0，所以0?a?1?5． 2b x（Ⅲ）若a??1时，方程f(1?x)?(1?x)3?可得lnx?(1?x)2?(1?x)?2b x23即b?xlnx?x(1?x)?x(1?x)?xlnx?x?x在x?0上有解 即求函数g(x)?xlnx?x?x的值域．
23b?x(lnx?x?x2) 令h(x)?lnx?x?x2
由h?(x)?1(2x?1)(1?x) ∵x?0 ?1?2x?xx∴当0?x?1时，h?(x)?0，从而h(x)在(0,1)上为增函数； 当x?1时，h?(x)?0，从而h(x)在(1，+∞)上为减函数。
∴h(x)?h(1)?0，而h(x)可以无穷小。 ∴b的取值范围为(??,0].
?1?30、（1）?0,?（2）?fn?x??an?x?n??n?1?x?（3）a?3
?4?11?1??解析：（1）?f(x)??(x?)2?,x??0,1?,?f(x)??0,?。
24?4?（2）当n?x?n+1(n?0,n?Z)时,
fn?x??afn?1?x?1??a2fn?1?x?2????anf1?x?n?， ?fn?x??an?x?n??n?1?x?。 x?n+1n(n0,Z?)（3）当n??时,fn?x??afn?1?x?1??a2fn?1?x?2????anf1?x?n?，
?fn(x)?an?3x?n；
显然fn(x)?an?3x?n,x??n,n?1?,n?0,n?Z当a?0时是增函数， 此时?fn(x)?an,3an，
若函数y?f(x)在区间?0，???上是是单调增函数，则必有an?1?3an，解得：a?3； 显然当a?0时，函数y?f(x)在区间?0，???上不是单调函数； 所以a?3。
???5?31、（1）0（2）??,???（3）见解析
?2??解析：（1）解：∵f?x???x3?ax2?bx?c，∴f??x???3x2?2ax?b．
∵f?x?在???,0?上是减函数，在?0,1?上是增函数， ∴当x?0时，f?x?取到极小值，即f??0??0． ∴b?0．
（2）解：由（1）知，f?x???x?ax?c，
32∵1是函数f?x?的一个零点，即f?1??0，∴c?1?a． ∵f??x???3x?2ax?0的两个根分别为x1?0，x2?22a． 3∵f?x?在?0,1?上是增函数，且函数f?x?在R上有三个零点， ∴x2?2a35?1，即a?．∴f?2???8?4a??1?a??3a?7??． 322故f?2?的取值范围为???5?,???． ?2?32（3）解：由（2）知f?x???x?ax?1?a，且a?3． 2要讨论直线y?x?1与函数y?f?x?图像的交点个数情况，
?y?x?1,即求方程组?解的个数情况． 32?y??x?ax?1?a3232由?x?ax?1?a?x?1，得x?1?ax?1??x?1??0． 2即?x?1?x?x?1?a?x?1??x?1???x?1??0．
??????