所以f(x)的单调增区间为(e,??),单调减区间为(0,1)和(1,e) (2)在e?x两边取对数,得x?mlnx．而x?1．所以m?由(1)知当x?(1,??)时,f(x)?f(e)?e．所以m?e． 21解：（1）由题意知，f(x)的定义域为(0,??)，
xmx lnx112(x?)2?b?b2x?2x?b22 (x?0) f'(x)?2x?2???xxx1?当b?时， f?(x)?0，函数f(x)在定义域(0,??)上单调递增．
22（2） ①由（Ⅰ）得，当b?②当b?1时，f/(x)?0,函数f(x)无极值点． 2111?2b11?2b时，f?(x)?0有两个不同解，x1?? , x2??2222211?2b?i) b?0时，，x1???0?(0,??)，舍去2211?2b 而x2???1?(0,??),
22此时 f?(x)，f(x)随x在定义域上的变化情况如下表：
x f?(x) f(x) (0,x2) ? 减 x2 0 极小值 (x2，??) ? 增 由此表可知：b?0时，f(x)有惟一极小值点, x?ii） 当0?b?11?2b， ?221时，0 222222（3）由（2）可知当b??1时，函数f(x)?(x?1)?lnx，此时f(x)有惟一极小值点 综上所述：当b?0时，f(x)有惟一最小值点, x?x?3?1 21?31?3)时，f'(x)?0, f(x)在(0,)为减函数 22141?3?当 n?3 时， 0? 1?1???，n32111?恒有 f(1)?f(1?)，即恒有 0?2?ln(1?) nnn1?当 n?3 时恒有ln(n?1)?lnn ?2 成立n1x?1令函数h(x)?(x?1)?lnx （x?0) 则 h'(x)?1??xx且x?(0,?x?1 时，h'(x)?0 ，又h(x)在x?1处连续?x?[1,??)时h(x)为增函数1111?n?3 时 1?1? ?h(1?)?h(1) 即 ?ln(1?)?0nnnn11?ln(n?1)?lnn?ln(1?)?nn11综上述可知 n?3 时恒有 ?ln(n?1)?lnn?2nn22解：（1）?g(x)?' ?2x' ?g(2)??22且g(2)?1?a 22(x?1)故g(x)在点P(2,g(2))处的切线方程为：22x?y?5?a?0 （2）由f(x)?'2x?0得x?0， x2?1故f(x)仅有一个极小值点M(0,0)，根据题意得： 5?ad??1 ?a??2或a??8 3 （3）令h(x)?f(x)?g(x)?ln(x?1)? h(x)?'21?a x2?1?12x2x1? ??2x??222222?x?1(x?1)?x?1(x?1)?' 当x??0,1)?(1,??)时，h(x)?0 当x?(??,?1)?(?1,0)时，h(x)?0 因此，h(x)在(??,?1),(?1,0)时，h(x)单调递减， ' 在(0,1),(1,??)时，h(x)单调递增. 又h(x)为偶函数，当x?(?1,1)时，h(x)极小值为h(0)?1?a 当x??1时，h(x)???， 当x??1时，h(x)??? 当x???时，h(x)???， 当x???时，h(x)??? 故f(x)?g(x)的根的情况为： 当1?a?0时，即a?1时，原方程有2个根； 当1?a?0时，即a?1时，原方程有3个根； 当1?a?0时，即a?1时，原方程有4个根 23解：（1）y???2ax，切线的斜率为?2at，?切线l的方程为y?(1?at2)??2at(x?t) ??1?at21?at2?2at21?at2?t??令y?0,得x? 2at2at2at1?at2?M(,0),令t?0,得y?1?at2?2at2?1?at2,?N(0,1?at2) 2at11?at2(1?at2)22??MON的面积S(t)??(1?at)? 22at4at3a2t4?2at2?1(at2?1)(3at2?1)?(2) S?(t)? 224at4at?a?0,t?0,由S?(t)?0,得3at2?1?0,得t?1 3a当3at?1?0,即t?21时, S?(t)?0 3a1时, S?(t)?0 3a当3at?1?0,即0?t?2?当t?1时,S(t)有最小值 3a1114?,?a? 处, S(t)取得最小值,故有233a2已知在t?故当a?41,t?时,S(t)min3241(1??)2134?2 ?S()?41234??321324.(1) a,b的值依次是2、1，(2)k??. b?11?2x?解析：(1)因为f(x)是奇函数, 所以f(0)=0, 即 ?0?b?1?f(x)?a?2a?2x?111?22?a?2. ??又由f(1)??f(?1)知 a?4a?11?1?2x11(2) 解法一：由(1)知f(x)?, 易知f(x)在(??,??)上为减函 ???2?2x?122x?1数。又因f(x)是奇函数，从而不等式：f(t2?2t)?f(2t2?k)?0等价于 f(t2?2t)??f(2t2?k)?f(k?2t2).因f(x)为减函数,由上式推得:t2?2t?k?2t2． 即对一切t?R有：3t2?2t?k?0, 从而判别式??4?12k?0?k??. 1?2t?2t1?22t?k1?2x??0 解法二：由(1)知f(x)?．又由题设条件得： 222?2x?12?2t?2t?12?22t?k?12213即： (22t2?k?1?2)(1?2t22?2t)?(2t2?2t?1?2)(1?22t2?k)?0 整理得: 23t?2t?k?1,因底数2>1,故:3t2?2t?k?0.上式对一切t?R均成立, 从而判别式 1??4?12k?0?k??. 3?k2(x?2)(x?4),?3?x??2;?kx(x?2),?2?x?0;?3?25、（1）f(?1)??k，f(2,5)??（2）f(x)??x(x?2),0?x?2; 4k??1(x?2)(x?4),2?x?3.??k f(x)在??3,?1?与?1,3?上为增函数，在??1,1?上为减函数； 2（3）①k??1而f(x)在x??3处取得最小值f(?3)??k，在x??1处取得最大值 f(?1)??k． ②k??1时，f(x)在x??3与x?1处取得最小值f(?3)?f(1)??1，在x??1与x?3处取得最大值f(?1)?f(3)?1． ③?1?k?0时，f(x)在x?1处取得最小值f(1)??1，在x?3处取得最大值 1f(3)??． k?解析：（1）f(?1)?kf(1)??k,?f(0.5)?kf(2,5)， ?f(2,5)?113f(0.5)?(0.5?2)?0.5??． kk4k（2）?对任意实数xf(x)?kf(x?2)， ?f(x?2)?kf(x),?f(x)?1f(x?2)． k当?2?x?0时，0?x?2?2,f(x)?kf(x?2)?kx(x?2)； 当?3?x??2时，?1?x?2?1,f(x)?11f(x?2)?(x?2)(x?4)． kk?k2(x?2)(x?4),?3?x??2;?kx(x?2),?2?x?0;??故f(x)??x(x?2),0?x?2; ??1(x?2)(x?4),2?x?3.??k?k?0,?f(x)在??3,?1?与?1,3?上为增函数，在??1,1?上为减函数； （3）由函数f(x)在??3,3?上的单调性可知， f(x)在x??3或x?1处取得最小值f(?3)??k2或f(1)??1，而在x??1或x?3处取 得最大值f(?1)??k或f(3)??1． k2故有①k??1而f(x)在x??3处取得最小值f(?3)??k，在x??1处取得最大值 f(?1)??k． ②k??1时，f(x)在x??3与x?1处取得最小值f(?3)?f(1)??1，在x??1与x?3处取得最大值f(?1)?f(3)?1． ③?1?k?0时，f(x)在x?1处取得最小值f(1)??1，在x?3处取得最大值 1f(3)??． k26.若a?0，则f??x??0，因此f?x?在?0,???上是增函数．