⑵如果?ABC为等腰三角形，求二面角A?BD?C的大小
20．（本小题满分12分）在数列?an?中，a1?1，2an?1⑴求?an?的通项公式； ⑵令bn?an?1?12an，求数列?bn?的前n项和Sn
1????1??an
n??2⑶求数列?an?的前n项和Tn
21．（本小题满分12分）已知椭圆C1的中心和抛物线C2的顶点都在坐标原点O，C1和C2有公共焦点F，
点F在x轴正半轴上，且C1的长轴长、短轴长及点F到C1右准线的距离成等比数列 ⑴当C2的准线与C1右准线间的距离为15时，求C1及C2的方程；
⑵设过点F且斜率为1的直线l交C1于P，Q两点，交C2于M，N两点，当PQ?的值
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367时，求MN
22．（本小题满分14分）设函数f(x)?⑴求f(x)的单调区间和极值；
⑵若当x?R时，?3?af(x)?b?3，求a?b的最大值
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2x?1x?22
2009年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数学（理工类）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设集合S??xx?5?，T??xx?4x?21?0?，则S?T?（ ）
2A. ?x?7?x??5? B. ?x3?x?5? C. ?x?5?x?3? D. ?x?7?x?5?
?a?log2x,?2. 已知函数f(x)??x2?4,??x?2?x?x?2??2?在点x?2处连续，则常数a的值是（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5 3. 复数
?1?2i?23?4iA. ?1 B. 1 C. ?i D. i
??的值是（ ）
4. 已知函数f(x)?sin?x???，下面结论错误的是（ ） ?（x?R）．．
2???A. 函数f(x)的最小正周期为2? B. 函数f(x)在区间?0,C. 函数f(x)的图像关于直线x?0对称 D. 函数f(x)是奇函数
??2??上是增函数
5. 如图，已知六棱锥P?ABCDEF的底面是正六边形，PA?平面ABC，
PA?2AB，则下列结论正确的是（ ）
A. PB?AD
B. 平面PAB?平面PBC
C. 直线BC∥平面PAE
0D. 直线PD与平面ABC所称的角为45
6. 已知a、b、c、d为实数，且c?d，则“a?b”是“a?c?b?d”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C．充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知双曲线
x22?yb22?1（b?0）F2，的左右焦点分别为F1、其一条渐近线方程为y?x，点P?3,y0?在该双曲线上，则PF1?PF2?（ ）
A. ?12 B. ?2 C. 0 D. 4
08. 如图，在半径为3的球面上有A、B、C三点，?ABC?90，BA?BC，球
心
O到平面ABC的距离是
322，则B、C两点的球面距离是（ ）
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A.
?3 B. ? C.
4?3 D. 2?
9. 已知直线l1:4x?3y?6?0和直线l2:x??1，抛物线y2?4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离
之和的最小值是（ ）
1610. 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要
用A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是
A. 2 B. 3 C.
115 D.
37
（ ）
A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元
11. 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则
不同排法的种数是（ ）
A. 360 B. 228 C. 216 D. 96
12. 已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x?1)?(1?x)f(x)，
则f??f????的值是（ ） 2????A. 0 B.
12??5?? C. 1 D.
52
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上）
1???2x??2x??的展开式的常数项是 （用数字作答） 13.
614. 若⊙O1:x2?y2?5与⊙O2:?x?m??y2?20（m?R）相交于A、B两点，且两圆在点A处
2的切线互相垂直，则线段AB的长度是
15. 如图，已知正三棱柱ABC?A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的
中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是 16．设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射f:V?V（a?V），
记a的象为f(a)。若映射f:V?V满足：对所有a,b?V及任意实数
?,?都有f(?a??b)??f(a)??f(b)，则f称为平面M上的线性变换。现有下列命题：
①设f是平面M上的线性变换，则f(0)?0
②对a?V，设f(a)?2a，则f是平面M上的线性变换；
③若e是平面M上的单位向量，对a?V，设f(a)?a?e，则f是平面M上的线性变换； ④设f是平面M上的线性变换，a,b?V，若a,b共线，则f(a)，f(b)也共线。 其中真命题是 （写出所有真命题的序号）
三、解答题（共6个小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17. （本小题满分12分）在?ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且
cos2A?35⑴求A?B的值；
，sinB?1010
⑵若a?b?
2?1，求a、b、c的值。
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18. （本小题满分12分）为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向
省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。某旅游公司组
织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中有
1334是省外游客，其余是省内游客。在省外游客中
持金卡，在省内游客中有
23持银卡。
⑴在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；
⑵在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量?，求?的分布列及数学期望E?
19．（本小题满分12分）如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，?ABE是等腰直角三角形，AB?AE，FA?FE，?AEF?450 ⑴求证：EF?平面BCE；
⑵设线段CD的中点为P，在直线AE上是否存在一点M，使得PM//平面BCE？若存在，请指出点M的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由； ⑶求二面角F?BD?A的大小。
20．（本小题满分12分）已知椭圆
右准线方程为x?2。
⑴求椭圆的标准方程；
⑵过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点，且F2M?F2N?
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xa22?yb22?1（a?b?0）的左右焦点分别为F1、F2，离心率e?22，
2263，求直线l的方程。