已知数列?an?满足a1?0，a2?2，且对任意m,n?N*都有a2m?1?a2n?1?2am?n?1?2?m?n?
2⑴求a3，a5；
⑵设bn?a2n?1?a2n?1（n?N*）证明：?bn?是等差数列；
⑶设cn??a2n?1?an?qn?1（q?0，n?N*），求数列?cn?的前n项和Sn．
22．（本小题满分14分）设f(x)?⑴设关于x的方程logta1?a1?axx（a?0且a?1），g(x)是f(x)的反函数．
?g(x)在区间?2,6?上有实数解，求t的取值范围；
n?x2?1?7?x??⑵当a?e（e为自然对数的底数）时，证明：?g(k)?k?22?n?n22n?n?1?；
⑶当0?a?
12n时，试比较
?k?1f(k)?n与4的大小，并说明理由．
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2011年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数学（理工类）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：
?11.5,15.5?2 ?15.5,19.5?4 ?19.5,23.5?9 ?23.5,27.5?18
?27.5,31.5? A
1611 ?31.5,35.5?1312 ?35.5,39.5?127 ?39.5,43.5?3
根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5，43.5)的概率约是（ ）
B
1i C D
23
2. 复数?i??（ ）
12i C 0 D 2i
A ?2i B
3. l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）
A l1?l2，l2?l3?l1//l3 B l1?l2，l2//l3?l1?l3
C l1//l2//l3?l1，l2，l3共面 D l1，l2，l3共点?l1，l2，l3共面 4. 如图，正六边形ABCDEF中，BA?CD?EF?（ ）
A 0 B BE C AD D CF
5. 函数，f(x)在点x?x0处有定义是f(x)在点x?x0处连续的（ ） A 充分而不必要的条件 B 必要而不充分的条件 C 充要条件 D 充分也不必要的条件 6. 在?ABC中，sin A ?0,??2既不
A?sin2B?sin2C?sinBsinC，则A的取值范围是（ ）
??????????? B C D ,?0,,???? ????6??6??3??3?x?1?7. 已知f(x)是R上的奇函数，且当x?0时，f(x)????1，则f(x)的反函数的图像大致是（ ）
?2?A B C D
*8. 数列?an?的首项为3，?bn? 为等差数列且bn?an?1?an（n?N），若则b3??2，b10?12，则a8? A 0 B 3 C 8 D 11
9. 某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型
卡车。某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次，派用的每吨甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划党团派用两类卡车的车辆数，可得最大利润（ ） A 4650元 B 4700元 C 4900元 D 5000元
210. 在抛物线y?x?ax?5（a?0）上取横坐标为x1??4，x2?2的两点，过这两点引一条割线，有
平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x?5y?36相切，则抛物线顶点的坐标为（ ） A ??2,?9?
B ?0,?5?
C ?2,?9?
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22
D ?1,?6?
11. 已知定义在?0,???上的函数f(x)满足f(x)?3f(x?2)，当x??0,2?时，f(x)??x2?2x。设f(x) 在?2n?2,2n?上的最大值为an（n?N*），且?an?的前n项和为Sn，则limSn?（ ）
n?? 2 2
12. 在集合?1,2,3,4,5?中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量???a,b?，从所有得到的
以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形。记所有作成的平行四边形的个数为n，其
中面积不超过．．．4的平行四边形的个数为m，则A
415
A 3 B
5 C 2 D
3mn?（ ）
23
B
13 C
25 D
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上）
?1??lg?lg25??100?13. 计算?4?12?
14. 双曲线
x26436到左准线的距离是
15. 如图，半径为R的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大是，
?y2?1上一点P到双曲线右焦点的距离是4，那么点P
求的表面积与改圆柱的侧面积之差是
16. 函数f(x)的定义域为A，若x1,x2?A且f(x1)?f(x2)时总有
x1?x2，则称f(x)为单函数。例如，函数f(x)?2x?1（x?R）是单函数。下列命题：
①函数f(x)?x2（x?R）是单函数；
②若f(x)为单函数，x1,x2?A且x1?x2，则f(x1)?f(x2)； ③若f:A?B为单函数，则对于任意b?B，它至多有一个原象； ④函数f(x)在某区间上具有单调性，则f(x)一定是单函数
其中的真命题是 .（写出所有真命题的编号）
三、解答题（共6个小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
7?3???f(x)?sin?x????cos?x???4?4?（x?R） ??17. （本小题共12分）已知函数
⑴求f(x)的最小正周期和最小值；
cos??????45，
cos???????45，（
0??????⑵已知
18. （本小题共12分）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。某自行车租车点的收费
标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计
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?f(?)??2?0 2），求证：
2算）。有人独立来该租车点租车骑游。各租一车一次。设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为
1214、
12；
、
14；两人租车时间都不会超过四小时。
⑴求出甲、乙所付租车费用相同的概率；
⑵求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量?，求?的分布列与数学期望E?；
19. （本小题共12分）如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，?BAC?900，AB?AC?AA1?1，D是
棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1//平面BDA ⑴求证：CD?C1D；
⑵求二面角A?A1D?B的平面角的余弦值； ⑶求点C到平面B1DP的距离．
an?20. （本小题共12分）设d为非零实数，
1n?C1nd?2Cnd22???(n?1)Cndn?1n?1?nCnd（n?N）
nn?*⑴写出a1，a2，a3，并判断?an?是否为等比数列。若是，给出证明；若不是，说明理由；
*⑵设bn?ndan（n?N），求数列?bn?的前n项和Sn
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21. （本小题共12分）椭圆有两顶点A??1,0?、B?1,0?，过其焦点F?0,1?的直线l与椭圆交于C、D两
点，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q
⑴当CD?322时，求直线l的方程；
⑵当点P异于A、B两点时，求证：OP?OQ为定值。
22. （本小题共14分）已知函数f(x)?2x?1
，h(x)?x
32⑴设函数F(x)?f(x)?h(x)，求F(x)的单调区间与极值； ⑵设a?R，解关于x的方程log4?f(x?1)???log4??2100?33?2h(a?x)?log2h(4?x)
⑶试比较f(100)h(100)??k?1h(k)与
16的大小
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