10.过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2
为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.
x2y211.AB是双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，
abb2x0b2x0M(x0,y0)为AB的中点，则KOM?KAB?2，即KAB?2。
ay0ay0x2y212.若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）内，则被Po所平
abx0xy0yx02y02分的中点弦的方程是2?2?2?2.
ababx2y213.若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦
abx2y2x0xy0y中点的轨迹方程是2?2?2?2.
abab椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）
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椭 圆
x2y21. 椭圆2?2?1（a＞b＞o）的两个顶点为A1(?a,0),A2(a,0)，与y
ab轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是
x2y2?2?1. 2abx2y22. 过椭圆2?2?1 (a＞0, b＞0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾
ab斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且
kBCb2x0?2（常数）. ay0x2y23. 若P为椭圆2?2?1（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1,
abF 2是焦点, ?PF1F2??, ?PF2F1??，则
a?c???tancot. a?c22x2y24. 设椭圆2?2?1（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长
ab轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记?F1PF2??,
?PF1F2??,?F1F2P??，则有
sin?c??e.
sin??sin?ax2y25. 若椭圆2?2?1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左
ab准线为L，则当0＜e≤2?1时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
x2y26. P为椭圆2?2?1（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为
ab椭圆内一定点，则2a?|AF2|?|PA|?|PF1|?2a?|AF1|,当且仅当
A,F2,P三点共线时，等号成立.
(x?x0)2(y?y0)2??1与直线Ax?By?C?0有公共点的充要7. 椭圆a2b2条件是A2a2?B2b2?(Ax0?By0?C)2. x2y28. 已知椭圆2?2?1（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上
ab111122
???两动点，且OP?OQ.（1）;（2）|OP|+|OQ||OP|2|OQ|2a2b24a2b2a2b2的最大值为22;（3）S?OPQ的最小值是22.
a?ba?bx2y29. 过椭圆2?2?1（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支
ab|PF|e?. 于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则
|MN|2x2y210.已知椭圆2?2?1（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，
ab线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0), 则
a2?b2a2?b2??x0?.
aax2y211.设P点是椭圆2?2?1（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一
ab2b2点,F1、F2为其焦点记?F1PF2??，则(1)|PF1||PF2|?.(2)
1?cos?S?PF1F2?b2tan?2.
x2y212.设A、B是椭圆2?2?1（ a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭
ab圆上的一点，?PAB??, ?PBA??,?BPA??，c、e分别是椭
2ab2|cos?|圆的半焦距离心率，则有(1)|PA|?222.(2)
a?ccos?2a2b22cot?. tan?tan??1?e.(3) S?PAB?2b?a2x2y213.已知椭圆2?2?1（ a＞b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，
ab过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点,点C在右准线
l上，且BC?x轴，则直线AC经过线段EF 的中点.
14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
16.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).
（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）
17.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）
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双曲线
x2y21. 双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的两个顶点为A1(?a,0),
abA2(a,0)，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2x2y2交点的轨迹方程是2?2?1.
abx2y22. 过双曲线2?2?1（a＞0,b＞o）上任一点A(x0,y0)任意作
ab两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且kBCb2x0??2（常数）. ay0x2y23. 若P为双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶
ab点外的任一点,F1, F 2是焦点, ?PF1F2??, ?PF2F1??，则
c?a??c?a???tancot（或?tancot）. c?a22c?a22x2y24. 设双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异
ab于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记
?F1PF2??,
?PF1F2??,
?F1F2P??，则有
sin?c??e.
?(sin??sin?)ax2y25. 若双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、
abF2，左准线为L，则当1＜e≤2?1时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
x2y26. P为双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦
ab点，A为双曲线内一定点，则|AF2|?2a?|PA|?|PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且P和A,F2在y轴同侧时，等号成立.
x2y27. 双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）与直线Ax?By?C?0有公共
ab点的充要条件是A2a2?B2b2?C2.
x2y28. 已知双曲线2?2?1（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q
ab为双曲线上两动点，且OP?OQ. 4a2b2111122
（1）（2）|OP|+|OQ|的最小值为22;???;
b?a|OP|2|OQ|2a2b2a2b2（3）S?OPQ的最小值是22.
b?ax2y29. 过双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双
ab曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则
|PF|e?. |MN|2x2y210.已知双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两
ab点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0), 则a2?b2a2?b2x0?或x0??.
aax2y211.设P点是双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的
ab任一点,F1、F2为其焦点记?F1PF2??，则(1)2b2?|PF1||PF2|?.(2) S?PF1F2?b2cot.
21?cos?x2y212.设A、B是双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P
ab是双曲线上的一点，?PAB??, ?PBA??,?BPA??，c、e
分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)
2ab2|cos?||PA|?222.
|a?ccos?|(2) tan?tan??1?e.(3) S?PAB22a2b2?2cot?. b?a2x2y213.已知双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的右准线l与x轴相交
ab于点E，过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BC?x轴，则直线AC经过线段EF 的中点.