高二上学期理科数学期中考试试卷
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。）
1．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝ ( ) A．2
B．－4
C．4
D．－2
2．已知命题p：1∈{x|(x＋2)(x－2)<0}；命题q：0∈?. 下列判断正确的是 ( ) A．p假q真
B．“p∨q为真”
C．“p∧q为真”
D．p假q假
3．a∈R，| a |<4成立的一个必要不充分条件是( ) A．a<4 <3
x2y2
4．若双曲线2－2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )
abA．
7 3
5
B． 4
4
C．
3
5
D． 3
B．| a |<3
C．a 2<16
D．0< a
5．在如下图所示的正方体A1B1C1D1－ABCD中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC夹角的余弦值为( )
10 ?A．
10
B．?120
D．
1C．
20
2
10 106．在抛物线y＝8x中，以(1，－1)为中点的弦所在直线的方程是( ) A．x－4y－3＝0 C．4x＋y－3＝0
B．x＋4y＋3＝0 D．4x＋y＋3＝0
→→→
7．已知三棱锥OABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且OA＝a，OB＝b，OC＝c，用a，→→
b，c表示MN，则MN等于 ( ) 1
A．(c－a－b)
2
1
B．(a＋b－c) 2
11
C．(a－b＋c) D．(b＋c－a)
22
8．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为( ) A．2
B．3
C．2
D．3
9．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为 ( ) 1
A．
21
C．
3
1D． 6
2
2
B．
2 2
xy
10．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，
43
→→
则 OP2FP的最大值为( ) A．6
B．3
C．2
D．8
11．已知二面角α-l-β等于120°，A，B是棱l上两点，AC，BD分别在半平面α，
β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝BD＝1，则CD的长等于( ) A．2
D．5
2
B．2 C． 3
x2y212．已知抛物线y=2px(p>0)与双曲线2?2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于两点
abA,B(A,B异于原点),抛物线的焦点为F.若双曲线的离心率为2,|AF|=7,则p=( ) A．3
B．6
C．12
D．42
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知a，b，c都是实数，则在命题“若a＞b，则ac＞bc”与它的逆命题、否命题、
逆否命题这四个命题中，真命题的个数是________.
2
2
y2?1有共同的渐近线，且过点(2，2)的双曲线的标准方程14．与双曲线x?42是 ．
15．过抛物线y2＝8x的焦点，作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长
为 ．
16．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N分别在AB1，BC1上，且AM=
BN=
1AB1，31BC1，则下列结论：①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；3④BD1⊥MN. 其中正确
命题的序号是________.(写出所有正确命题的序号)
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤）
17．(本小题满分10分) 如图,在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC=2，在四边形ABCD
中，∠B=∠C=90°，AB=4，CD=1，点M在PB上， PB=4PM，PB与平面ABCD成30°的角. 求证：（1）CM∥平面PAD；
（2）平面PAB⊥平面PAD.
xy
18．(本小题满分12分) 若F1、F2分别是椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P是
ab
该椭圆上的一个动点，且|PF1|＋|PF2|＝4，|F1F2|＝23. （1）求出这个椭圆的方程；
→→
（2）是否存在过定点N(0，2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，使OA⊥OB(其
中O为坐标原点)？若存在，求出直线l的斜率k；若不存在，说明理由．
2
2
19．(本小题满分12分) 如图，在四棱锥 P－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ADC＝60°，
侧面PDC是正三角形，平面PDC⊥平面ABCD，CD＝2，M为PB的中点．
（1）求证：PA⊥平面CDM；
（2）求二面角 D－MC－B的余弦值．
20．(本小题满分12分) 设P是圆x＋y＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M
4
为PD上一点，且|MD|＝|PD|. 5
（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程； 4
（2）求过点(3，0)且斜率为的直线被C所截线段的长度．
5
22
21．(本小题满分12分) 如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，
AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点． （1）证明B1C1⊥CE；
（2）求二面角B1－CE－C1的正弦值； （3）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面
ADD1A1所成角的正弦值为的长．
2
，求线段AM 6
22．(本小题满分12分) 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，
抛物线C：y＝2px(p>0)．
（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程； （2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点
P和Q.
①求证：线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)； ②求p的取值范围．
2
高二年级数学(理科)段考试题参考答案 第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
题号 1 答案 C
2 B
3 A
4 D
5 D
6 C
7 A
8 D
9 C
10 A
11 B
12 B
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．2
x2y2??1 14．
31215．16 16．①③
三、解答题（本大题共6小题，满分70分）
17．证明：如图建立空间直角坐标系C-xyz.
因为PC⊥平面ABCD，
所以∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，??1分 所以∠PBC=30°，
因为PC=2，所以BC=23，PB=4，
所以D(0，1，0)，B(23，0，0)，A(23，4，0)，P(0，0，2)，
?33??M??2,0,2?， ?????????????????
???2分
?33??所以DP?(0,?1,2), DA?(23,3,0), CM???2,0,2?
??（1）设n=(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，
所以 即
?y?2z?023x?3y?0
令y=2，得n=(-3，2，