高二上学期理科数学期中考试试卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.?ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a?8，B?60°，c?75°，则b?（ ）
A． 42 B．43 C．46 D．
32 32.等比数列{an}中，若a2?a3?4，a4?a5?16，则a6?a7?（ ） A．64 B．-64 C．32 D．-32
3.已知等差数列{an}中，公差d?2，an?11，Sn?35，则a1?（ ） A．5或7 B．3或5 C．7或-1 D．3或-1
????????4.?ABC中，AB?3，BC?4，CA?5,则BA?CA?（ ）
A．15 B．9 C.-15 D．-9
5.已知a、b、c、d成等比数列，且曲线y?x?4x?7的顶点是(b,c)，则ad等于（ ） A．5 B．6 C.7 D．12
6.已知等差数列{an}的公差d为整数，首项为13，从第五项开始为负，则d等于（ ） A．-4 B．-3 C.-2 D．-1
7.已知?ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a?2，A?45°，若三角形有两解，则边b的取值范围是（ ）
A．b?2 B．b?2 C.2?b?22 D．2?b?23 8. ?ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知atanB?btanA，则?ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
9. 已知?ABC中，sinB?sinC?sinA??sinBsinC，则A?（ ）
222222 A．60° B．90° C.150° D． 120°
10.《九章算术》中有“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”这个问题中，甲所得为（ ） A．
5435钱 B．钱 C. 钱 D．钱 432311.设{an}为等差数列，|a3|?|a9|，公差d?0，则使前n项和Sn取得最大值时正整数n等于（ ）
A.4或5 B.5或6 C.6或7 D.8或9
2212.已知锐角?ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a?2，b?c?bc?4，
则?ABC的面积的取值范围是（ ） A．(3233,3] B．(0,3] C. (,3] D．(,3) 333第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 在?ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若则此三角形面积为 ．
14. 数列{an}的首项a1?2，an?2an?1?3(n?2)，则a7? ． 15.已知等差数列{an}，{bn}前n项和分别为Sn和Tn，若
abc???3，sinAcosBcosCSn2n?11，则?Tnn?3a1?a5?a9?a13= ．
b2?b6?b8?b1216. 如图半圆O的半径为1，P为直径MN延长线上一点，且OP?2，R为半圆上任意一点，以PR为一边作等边三角形PQR，则四边形OPQR面积最大值为___________.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 在?ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足cos2A?3cos(B?C)?1. （1）求角A；
（2）若?ABC的面积S?103，b?5，求边a. 18.已知等比数列{an}满足an?1?an?9?2n?1，n?N. （1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{an}的前n项和为Sn，若不等式Sn?t?an?1，对一切n?N恒成立，求实数t的取值范围.
19. 在等差数列{an}中，2a9?a12?13，a2?5，其前n项和为Sn. （1）求数列{an}的通项公式； （2）求数列{**31}的前n项和Tn，并证明Tn?.
4Sn20. 在锐角?ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且3a?2csinA. （1）确定角C的大小；
（2）当c?1时，求?ABC周长的最大值.
21. 轮船A从某港口将一些物品送到正航行的轮船B上，在轮船A出发时，轮船B位于港口O北偏西30°且与O相距20海里的P处，并正以30海里的航速沿正东方向匀速行驶，假设轮船A沿直线方向以V海里/小时的航速匀速行驶，经过t小时与轮船B相遇. （1）若使相遇时轮船A航距最短，则轮船A的航行速度大小应为多少？
（2）假设轮船A的最高航速只能达到30海里/小时，则轮船A以多大速度及什么航行方向才能在最短时间与轮船B相遇，并说明理由.
22.已知数列{an}及fn(x)?a1x?a2x2???anxn，且fn(?1)?(?1)n?n,n?1,2,3,?. （1）求a1，a2，a3的值； （2）求数列{an}的通项公式； （2）求证:
11?fn()?1. 33
理科数学（参考答案） 一、选择题
1-5:CADBB 6-10:ACCDB 11、12：BC 二、填空题 13.
91553 14. -61 15. 16. 2? 4164三、解答题
17.解：（1）∵(2cosA?1)?3(?cosA)?1解得cosA??2或∵0?A??，
21， 21?，∴A?. 2311?（2）∵S?bcsinA，即103??5c?sin，
223∴cosA?222∴c?8，∴a?5?8?2?5?8?cos?3，解得a?7.
*18.解：设等比数列{an}公比为q，∵an?1?an?9?2n?1，n?N， ∴a2?a1?9，a3?a2?18，∴q?∴an?3?2n?1.
a3?a218??2，∴2a1?a1?9，∴a1?3，
a2?a193(1?2n)?3(2n?1)，∴3(2n?1)?t?3?2n?1?1，即 （2）由（1）知Sn?1?22*对一切n?N恒成立. n?13?22令f(n)?2?，则f(n)随n的增大而增大.
3?2n?124∴f(n)min?f(1)?2??，
33t?2?∴t?44，∴实数t的取值范围是(??,). 3319.解：（1）设等差数列的公差为d，则由2a9?a2?13及等差数列的通项公式， 得a1?5d?12，又a2?a1?d?4，解得a1?3，d?2， 则an?2n?1；
（2）由（1）知Sn?n2?2n， 即
111111???(?)， ?2Snn?2nn(n?2)2nn?2则
Tn?111111111111??[(1?)?(?)???(?)?(?)] ?????324n?1n?1nn?2S1S2Sn?1Sn211113111??(1???)???(?). 22n?1n?242n?1n?23所以Tn?.
420.解：（1）由3a?2csinA及正弦定理得，
a2sinAsinA??. csinc3∵sinA?0，∴sinC?3. 2∵?ABC是锐角三角形，∴C?（2）∵
?3.
abc???2， sinAsinBsinC∴a?b?c?2(sinA?sinB)?3?23sin(A?∵?ABC是锐角三角形，∴
?6)?3. ?6?A??2，
故3??sin(A?)?1， 26所以?ABC周长的取值范围是(3?3,33]. 21.解：（1）设相遇时轮船A航行的距离为S海里，则
S?900t2?400?2?30t?20?cos(90°?30°)