16．（本题满分14分）已知函数f(x)?cos2x?23sinxcosx?sin2x。 （1）求函数f(x)的最小正周期及其单调递增区间； （2）当x?[
17．（本题满分14分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1?1，且S1,2S2,3S3成等差数列；等差数列{bn}满足：
,]时，求函数f(x)的值域。
123??b2?3a2,b5?3S2。
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）设cn?an?bn，求数列{cn}的前n项和Tn。
18．（本题满分16分）如图，在直角三角形ABC中，?BAC?90，D是BC边上一点，且AC?3DC。 （1）若?DAC?30，求角B的大小；
A （2）若BD=2DC，且AD?22，求DC的长。
19．（本题满分16分）为改善居民的生活环境，政府拟将一公园进行改造扩建.已知原公园是直径为200米的半圆形，出入口在圆心O处，A为居民小区，OA的距离为200米.按照设计要求：以居民小区A和圆弧上点B为线段向半圆外作等腰直角三角形ABC(C为直角顶点)，使改造后的公园成四边形OACB，如图.
（1）若OB⊥OA时，C与出入口O的距离为多少米？ （2）B设计在什么位置时，公园OACB的面积最大？
O
A B C B D
C
00
20．（本题满分16分）已知数列{an}是公差为正数的等差数列，其前n项和为Sn，且a2·a3＝15，S4＝16． （1）求数列{an}的通项公式； （2）数列{bn}满足b1＝a1，bn＋1－bn＝
①求数列{ bn}的通项公式；
②是否存在正整数m，n(m≠n)，使得b2，bm，bn成等差数列？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．
第二学期期中测试 高一数学参考答案
一：填空题 1．
1
．
an·an+1
3?3 2．? 3．?1 4．3 5．5 6．4 7． 8．27 9．
23273? 12． 13．?3n?23 14．3?22 9410．?4 11．?二：解答题
15．解：（1）∵???，?，sin??5，∴cos???1?sin2???25，…………2分
525 cos(???4??)?cos?4cos??sin?4sin?……………………………………4分
?2310(cos??sin?)??；……………………………………………6分 210cos2??cos2??sin2??3，………………10分 （2）∵sin2??2sin?cos???4，55 所以sin(5?5?5??2?)?sincos2??cossin2?………………………12分 666?13343?43。…………………………………………14分 ??(?)?(?)?2525103sin2x?cos2x?2sin(2x?16．解：（）由题意得：f(x)?所以T?由2k???6)，…………2分
2???，…………………………………………………………4分 2?2?2x??6?2k???2，（k?Z）
解得：k???3?x?k???6，k?Z，……………………………………6分
所以函数的单调递增区间是[k??（2）因为x?[所以
?3,k???6],k?Z；……………………8分
??5?,]，所以?2x??，…………………………10分 123366??1??sin(2x?)?1，……………………………………………………12分 26,]上值域为[1,2]。…………14分
123所以1?f(x)?2，即函数f(x)的在[??17．解：（1）设数列{an}的公比为q，因为S1,2S2,3S3成等差数列，
所以4S2?S1?3S3，所以4(a1?a2)?a1?3(a1?a2?a3)，即a2?3a3，……2分 所以q?a311?，则an?a1qn?1?()n?1，……………………………………………4分
3a23设数列的公差为d，因为b2?3a2,b5?3S2，
所以b2?3a2?1,b5?3S2?3(a1?a2)?3(1?)?4，……………………………6分 又b5?b2?3d，所以d?1，
所以bn?b2?(n?2)d?n?1，…………………………………………………………8分 （2）由（1）知：cn?an?bn?()1313n?1?n?1，……………………………………10分
11?()n3?(0?n?1)n?n(n?1)?3?1?(1)n?1。……………………14分 所以Tn?122231?318．解：（1）在直角三角形ABC中，?BAC?90，又?DAC?30， 所以?BAD?60，…………………………………………2分 在?ADC中，?DAC?30，AC?3DC， 则由正弦定理
0000A DCAC?，得：
sin?DACsin?ADCB D
C
sin?ADC?AC3，…………………………6分 sin?DAC?3?sin300?DC2000因为?ADC??B??BAD??B?60?60，且?ADC?180， 所以?ADC?120，则?B?60，…………………………………………8分 （2）设DC?x，则BD?2x,AC?3x，所以BC?3x，…………10分 在Rt?ABC中， AB?BC?AC?9x?3x?6x，则AB?所以cosB?222222006x，
AB6x6，…………………………………………12分 ??BC3x3222在?ABD中，由余弦定理AD?AB?BD?2AB?BDcosB， 得：8?6x?4x?26x?2x?226?2x2，………………………………14分 3解得x?2，即DC?2。………………………………………………………16分 19．解：（1）OB?OA时，取单位为百米， 则OA?2,OB?1,AB?5,BC?AC?2210，…………………………2分 22在△OBC中，由余弦定理OC?BO?BC?2BO?BCcos?OBC得：
C OC2?1?510?2??cos?OBC 22B ……………………………………4分 贼△OAC中，由余弦定理
O
A OC2?AO2?AC2?2AO?ACcos?OAC得：
OC2?4?510?2?2??cos?OAC…6分 22932（百米），则OC?，
222因为?OAC??OBC?180?，所以两式相加得：OC?答：C与入口O的距离为1502米……………………………………………8分 （2）设∠AOB??，0????，（计算中取长度单位为百米）
在?AOB中，由余弦定理AB?OA?OB?2OA?OBcos?AOB得：
222AB2?22?12?2?2?1?cos??5?4cos?，…………………………10分
所以四边形OACB的面积为S?S?AOB?S?ABC?11OA?OBsin??AC2 22