第23章《二次函数与反比例函数》中考题集（16）：
23.4 二次函数与一元二次方程
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第23章《二次函数与反比例函数》中考题集（16）：
23.4 二次函数与一元二次方程
解答题
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61．（2010?咸宁）已知二次函数y=x+bx﹣c的图象与x轴两交点的坐标分别为（m，0），（﹣3m，0）（m≠0）．
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（1）证明4c=3b；
（2）若该函数图象的对称轴为直线x=1，试求二次函数的最小值．
62．（2010?十堰）已知关于x的方程mx﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0． （1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根；
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（2）若关于x的二次函数y=mx﹣（3m﹣1）x+2m﹣2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式； （3）在直角坐标系xoy中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线y=x+b与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b的取值范围．
63．（2010?南京）已知点A（1，1）在二次函数y=x﹣2ax+b图象上． （1）用含a的代数式表示b；
（2）如果该二次函数的图象与x轴只有一个交点，求这个二次函数的图象的顶点坐标．
64．（2010?娄底）已知：二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标
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是（﹣2，0），点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OC＜OB）是方程x﹣10x+24=0的两个根．
（1）求B、C两点的坐标；
（2）求这个二次函数的解析式．
65．（2010?汕头）已知二次函数y=﹣x+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．
（1）求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式；
（2）根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．
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66．（2009?肇庆）已知一元二次方程x+px+q+1=0的一根为2． （1）求q关于p的关系式；
（2）求证：抛物线y=x+px+q与x轴有两个交点；
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（3）设抛物线y=x+px+q的顶点为M，且与x轴相交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，求使△AMB面积最小时的抛物线的解析式．
67．（2009?新疆）（1）用配方法把二次函数y=x﹣4x+3变成y=（x﹣h）+k的形成．
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（2）在直角坐标系中画出y=x﹣4x+3的图象．
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www.jyeoo.com 2（3）若A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y=x﹣4x+3图象上的两点，且x1＜x2＜1，请比较y1，y2的大小关系．（直接写结果）
（4）把方程x﹣4x+3=2的根在函数y=x﹣4x+3的图象上表示出来．
68．（2009?黔东南州）已知二次函数y=x+ax+a﹣2．
（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点； （2）设a＜0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为时，求出此二次函数的解析式； （3）若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积为求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
69．（2009?宁夏）如图，抛物线y=﹣x+
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？若存在，
x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）求A、B、C三点的坐标； （2）证明：△ABC为直角三角形；
（3）在抛物线上除C点外，是否还存在另外一个点P，使△ABP是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
70．（2009?梅州）如图，已知抛物线y=﹣
x+
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x+与x轴的两个交点为A、B，与y轴交于点C．
（1）求A，B，C三点的坐标； （2）求证：△ABC是直角三角形；
（3）若坐标平面内的点M，使得以点M和三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．（直接写出点的坐标，不必写求解过程）
71．（2009?娄底）已知关于x的二次函数y=x﹣（2m﹣1）x+m+3m+4． （1）探究m满足什么条件时，二次函数y的图象与x轴的交点的个数；
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（2）设二次函数y的图象与x轴的交点为A（x1，0），B（x2，0），且x1+x2=5，与y轴的交点为C，它的顶点为M，求直线CM的解析式．
72．（2009?黄石）已知关于x的函数y=ax+x+1（a为常数） （1）若函数的图象与x轴恰有一个交点，求a的值；
（2）若函数的图象是抛物线，且顶点始终在x轴上方，求a的取值范围．
73．（2008?天津）已知抛物线y=3ax+2bx+c， （Ⅰ）若a=b=1，c=﹣1，求该抛物线与x轴公共点的坐标；
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www.jyeoo.com （Ⅱ）若a=b=1，且当﹣1＜x＜1时，抛物线与x轴有公共点，求c的取值范围；
（Ⅲ）若a+b+c=0，且x1=0时，对应的y1＞0；x2=1时，对应的y2＞0，试判断当0＜x＜1时，抛物线与x轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．
74．（2008?长春）已知两个关于x的二次函数y1与y2，y1=a（x﹣k）+2（k＞0），y1+y2=x+6x+12；当x=k时，y2=17；且二次函数y2的图象的对称轴是直线x=﹣1． （1）求k的值；
（2）求函数y1，y2的表达式；
（3）在同一直角坐标系内，问函数y1的图象与y2的图象是否有交点？请说明理由．
75．（2008?北京）已知：关于x的一元二次方程mx﹣（3m+2）x+2m+2=0（m＞0）． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＜x2）．若y是关于m的函数，且y=x2﹣2x1，求这个函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m的取值范围满足什么条件时，y≤2m．
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76．（2007?天津）已知关于x的一元二次方程x+bx+c=x有两个实数根x1，x2，且满足x1＞0，x2﹣x1＞1． （1）试证明c＞0；
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（2）证明b＞2（b+2c）；
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（3）对于二次函数y=x+bx+c，若自变量取值为x0，其对应的函数值为y0，则当0＜x0＜x1时，试比较y0与x1的大小．
77．（2007?宁夏）二次函数y=ax+bx+c中，自变量x与函数y的对应值如下表： x ﹣1 0 1 2 3 ﹣ y ﹣2 1 2 1 ﹣2 ﹣ ﹣ （1）判断二次函数图象的开口方向，并写出它的顶点坐标．
（2）一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0，a，b，c是常数）的两个根x1，x2的取值范围是下列选项中的哪一个 _________ ． ①②③④
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www.jyeoo.com 222278．（2007?茂名）已知函数y=x+2x+c的图象与x轴的两交点的横坐标分别是x1，x2，且x1+x2=c﹣2c，求c及x1，x2的值．
79．（2007?贵阳）二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
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（1）写出方程ax+bx+c=0的两个根；
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（2）写出不等式ax+bx+c＞0的解集；
（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
（4）若方程ax+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
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80．（2006?淄博）已知关于x的二次函数y=x﹣mx+
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与y=x﹣mx﹣，这两个二次函数的图象中的一条
与x轴交于A，B两个不同的点．
（1）试判断哪个二次函数的图象经过A，B两点； （2）若A点坐标为（﹣1，0），试求B点坐标；
（3）在（2）的条件下，对于经过A，B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x值的增大而减小．
81．（2006?凉山州）已知抛物线y=﹣（x﹣1）+2的部分图象（如图所示），则图象再次与x轴相交时，交点的坐标是 _________ ．
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82．（2006?莱芜）已知：关于x的二次函数y=﹣x+（m+2）x﹣m．
（1）求证：不论m为任何实数，二次函数的图象的顶点P总是在x轴的上方；
（2）设二次函数图象与y轴交于A，过点A作x轴的平行线与图象交于另外一点B．若顶点P在第一象限，当m为何值时，△PAB是等边三角形．
83．（2006?荆州）已知y关于x的函数：y=（k﹣2）x﹣2（k﹣1）x+k+1中满足k≤3．
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